• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Контакты

194100, Санкт-Петербург,
ул. Кантемировская д. 3, корп. 1, лит. А, каб.331
Тел. (812) 644-59-11 доб. 61578

Руководство
Заместитель декана по учебной работе Кузнецов Антон Михайлович
Заместитель декана по научной работе Жуков Алексей Евгеньевич
Заместитель декана по административной работе Мухин Михаил Сергеевич
Образовательные программы
Бакалаврская программа

Прикладная математика и информатика

4 года
Очная форма обучения
40/30/6
40 бюджетных мест
30 платных мест
6 платных мест для иностранцев
RUS/ENG
Обучение ведётся на русском и английском языках
Бакалаврская программа

Прикладной анализ данных и искусственный интеллект

4 года
Очная форма обучения
20/30/1
20 бюджетных мест
30 платных мест
1 платное место для иностранцев
RUS/ENG
Обучение ведётся на русском и английском языках
Бакалаврская программа

Физика

4 года
Очная форма обучения
20/5/1
20 бюджетных мест
5 платных мест
1 платное место для иностранцев
RUS/ENG
Обучение ведётся на русском и английском языках
Магистерская программа

UX-аналитика и проектирование информационных систем

2 года
Очная форма обучения
15/10/1
15 бюджетных мест
10 платных мест
1 платное место для иностранцев
RUS/ENG
Обучение ведётся на русском и английском языках
Магистерская программа

Вычислительная биология и биоинформатика

2 года
Очная форма обучения
5/10/1
5 бюджетных мест
10 платных мест
1 платное место для иностранцев
RUS
Обучение ведётся на русском языке
Магистерская программа

Машинное обучение и анализ данных

2 года
Очная форма обучения
15/15/1
15 бюджетных мест
15 платных мест
1 платное место для иностранцев
RUS/ENG
Обучение ведётся на русском и английском языках
Магистерская программа

Программирование и анализ данных

2 года
Очная форма обучения
RUS/ENG
Обучение ведётся на русском и английском языках
Магистерская программа

Физика

2 года
Очная форма обучения
15/5
15 бюджетных мест
5 платных мест
RUS
Обучение ведётся на русском языке
Статья
Progress and opportunities in backward angle (u-channel) physics

Semenov-Tian-Shansky K., Ayerbe Gayoso C., Bibrzycki Ł. et al.

European Physical Journal A. 2021. Vol. 57. No. 12.

Глава в книге
FARM: hierarchical association rule mining and visualization method

Petr T., Oleg S., Lukashina N. et al.

In bk.: Proceedings of the 12th ACM Conference on Bioinformatics, Computational Biology, and Health Informatics. NY: Association for Computing Machinery (ACM), 2021.

Препринт
Do Data-based Curricula Work?

Сурков М. К., Мосин В. Д., Yamshchikov I. P.

arxiv.org. Computer Science. Cornell University, 2021

Исследовательский проект по физике: бросок монетки

В рамках дисциплины «Реферативный семинар» студенты бакалаврской программы по физике разбирают научные статьи, проводят небольшие исследования и выступают с докладами перед своими одногруппниками. Первокурсник Егор Закутей разбирался, можно ли подбросить монетку так, чтобы она встала на ребро, и как фокусники угадывают, когда выпадет нужная им сторона.

Исследовательский проект по физике: бросок монетки

© Pexels

Стандартный пример, который приводится в начале изучения теории вероятностей, – это бросок двухсторонней монетки. Утверждается, что события «монета упала решкой вверх» и «монета упала орлом вверх» равновероятны из-за симметрии. Мне стало интересно, как получить такой результат, используя более строгие физические рассуждения. К тому же, исследуя динамику броска, можно ответить и на другие вопросы:

  1. Какова вероятность, что монета встанет на ребро, и зависит ли это от ее толщины?
  2. Какой должна быть монета, чтобы события «падение на бок», «падение решкой вверх» и «падение орлом вверх» были равновероятны?
  3. Как фокусникам удаётся бросать монетку так, что всегда выпадает нужная им сторона?

Для ответов на поставленные вопросы я разобрал статью Probability, geometry, and dynamics in the toss of a thick coin.

Физическая модель

Любое исследование начинается с построения физической модели и этот случай – не исключение. Будем считать, что монета имеет форму цилиндра и состоит из однородного материала (важно, что толщиной монеты мы не пренебрегаем). В начальный момент времени монета находится на высоте h над неупругой поверхностью, имеет вертикально направленную скорость и произвольно вращается. Далее делаем существенное упрощение: монета падает на поверхность без отскока.

Для того чтобы определить, на какую сторону упадет монетка, я решил посмотреть, как от времени зависит вектор нормали, проведенной к плоскости верхней грани. Например, если в момент падения вектор направлен вверх, мы получаем событие «монета упала верхней гранью вверх». Далее я связал изменение направления нормали с вектором угловой скорости, а угловую скорость выразил через момент импульса. Из-за того, что монета имеет цилиндрическую форму, тензор инерции устроен так, что нормаль просто вращается вокруг вектора момента импульса с постоянной угловой скоростью.


Пунктиром на рисунке (a) показано, как вектор нормали N вращается вокруг вектора момента импульса M. Заметим, что окружность, которую описывает вектор N, проходит через «северный полюс» сферы, потому что в начальный момент времени вектор N направлен вверх. 

На рисунке (б) показано, как направление вектора N влияет на исход броска.  

Исход броска зависит от угла α(t) – угол между N и осью z. Условие на каждое из трех событий можно записать через простые неравенства. Сам α(t) я получил, используя сферическую теорему косинусов и факт о вращении вектора N. Далее через начальную скорость и этот угол можно выразить момент времени, когда монетка столкнется с поверхностью. Из-за того, что при броске мы придаем случайные вертикальные и угловые скорости, момент времени падения t₁ тоже оказывается случайно распределен. Я предположил, что малые случайные изменения начальных параметров влекут большие изменения угла α(t₁), поэтому можно считать, что момент падения t₁ равномерно распределен в рамках периода вращения вектораN.

В итоге я получил следующий результат: вероятности трёх исходов зависят от двух начальных параметров – относительной ширины монеты (отношение толщины к диаметру) и угла между начальным моментом импульса и осью zДля наглядности можно обратиться к графикам из статьи:


На рисунках (a), (b) и (c) показаны вероятности трёх событий в зависимости от параметров: ζ – относительная ширина, ψ – угол между M и осью z. На рисунке (d) показана зависимость всех трёх вероятностей от угла ψ при такой относительной ширине, что все три события равновероятны («справедливая» трёхсторонняя монетка).

Решение

Уже с полученными явными математическими формулами для P(ζ, ψ) я принялся отвечать на поставленные вопросы. Взглянув на формулы, я пришел к достаточно неожиданным выводам: если ψ = π/2 (момент импульса лежит в плоскости монетки), то выпадение верхней и нижней стороны монетки равновероятно, но при ψ ≠ π/2 выпадение верхней стороны становится более вероятным. Это значит, что если во время броска немного подкрутить монету вокруг вертикальной оси, то на монете чаще будет выпадать та же сторона, что и была направлена вверх в начале броска. При этом  вращение при таком броске визуально ничем не отличается от обычного броска. Именно в этом и заключается секрет фокуса.

Далее, исследуя  зависимости вероятностей от толщины, я принял угол  ψ равным π/2 и построил график этой зависимости:


На графике синим цветом заливки обозначена вероятность события «падение решкой вверх», оранжевым – «падение на бок», и зелёным – «падение орлом вверх» (для фиксированного ζ толщина полоски определенного цвета равна вероятности).

По графику видно, что для какого-то ζ вероятности трёх событий будут равны. Уравнение можно точно решить, получив  ζ = 1/√3 ≈ 0.577. Этот результат сильно отличается от вывода из известного геометрического решения: ζ = 1/2√2 ≈ 0.354. Идея геометрического решения в том, чтобы у всех трёх сторон был одинаковый телесный угол. Авторы статьи провели эксперимент, который показывает, что «динамическое» решение дает более правильный результат, чем «геометрическое».

Результаты

В ходе подготовки доклада на реферативный семинар у меня получилось разобраться в физике броска, явно выразить вероятности через начальные условия и ответить на поставленные вопросы:

  1. Для монеты номиналом один рубль вероятность упасть на ребро будет порядка 5%, однако в реальности вероятность может получиться другой, потому что в нашей модели монета падает на неупругую поверхность. 
  2. Ширина монеты должна относиться к диаметру, как 1/√3 ≈ 0.577
  3. Секрет броска заключается в правильном закручивании монетки вокруг вертикальной оси. Если угол ψ будет немного больше π/4, то визуально бросок не будет отличаться от «честного», но вероятность выпадения верхней стороны при будет близка к 100%.

Я считаю, что посещение реферативных семинаров действительно полезно. На них мы не просто разбираем интересные физические сюжеты и осваиваем новые приёмы решения задач. Мы готовимся к научной работе: учимся искать материал по теме, вникать в статьи и обсуждать их с коллегами.