Исследовательский проект по физике: вращение яйца
Александр Солдатенков и Диана Мысляева, студенты 1-го курса бакалаврской программы «Физика»
Обычно когда надо определить, какое перед нами яйцо — сырое или вареное — мы пытаемся раскрутить его, положив набок на какую-нибудь поверхность. Для этого не нужно прилагать много усилий, потому увидев, что яйцо вращается, мы сразу же его останавливаем. Но задумывались ли вы, что при сильном вращении яйцо может подниматься из горизонтальной плоскости в вертикальную и стоять на одном из своих концов? Когда мы это увидели, решили узнать причины и необходимые условия для такого явления.
Эта задача показалась нам интересной, потому что при исследовании динамики движения часто возникают расхождения между гипотезой и реальностью — физика процесса в данном случае далеко не тривиальна. Также нам хотелось изучить повседневное явление с помощью полученных знаний, то есть попробовать применить их на практике.
В целом, физическая модель и математический аппарат, который мы использовали в этом исследовании, не вызвали больших проблем, поэтому нам оставалось аккуратно разобраться в каждом действии и досконально понять процесс. Сложность заключалась в том, что для нас это был первый опыт исследования: было непонятно, с чего начать, как развивать свою мысль, где можно чем-то пренебречь — и чем именно. В своей работе мы опирались на англоязычную статью «Spinning eggs — which end will rise?», что позволило дополнительно попрактиковаться в техническом английском.
Как и в любой другой задаче, мы начали с определения цели исследования: понять, в каком случае яйцо будет вращаться на тупом конце, а в каком на остром. Сконструировав физическую модель, приступили к работе. Нам пришлось работать в нескольких системах отсчёта: лабораторной и собственной. Вспомнили и геометрию тела, которая в целом не выходила за рамки школьной программы.
Здесь изображены две системы отсчета: OXYZ — лабораторная СО, oxyz — собственная, прецессирующая вокруг оси OZ с угловой скоростью Ω. Угол θ — изменяющийся со временем угол наклона оси симметрии oz от оси OZ, который является ключевым в нашей задаче. Точка P — точка касания яйца с поверхностью,h(θ)— высота положения центра масс.
Мы начали с некоторых общих формул, таких как второй закон Ньютона, уравнение Эйлера, основное уравнение вращательного движения. Дальше учли особенности нашей задачи: небольшая сила трения, высокая угловая скорость и так далее. Это помогло упростить выражения и получить достаточно приятные для дальнейшей работы уравнения.
Довольно непросто было учесть, что плотность яйца неоднородная. Здесь хотим предложить вам, уважаемые читатели, самим подумать, что делать с неоднородностью яйца. А свой ответ мы дадим в конце*.
Дальше мы столкнулись с еще одной проблемой: чтобы вычислить положение центра масс и момент инерции, нужно было описать форму яйца. Мы использовали некоторые овальные кривые: овал Кассини, Декартов овал, лемниската Бернулли, кривая Вассенаара. В итоге получили несколько моделей задачи и дальнейшие вычисления проводили для каждой из них.
В ходе исследования нам удалось выяснить, что есть некоторый критический угол, который является характерной величиной, причём для разных кривых он разный: какие-то кривые неожиданно для нас лучше описывали поведение яйца, какие-то хуже. Например, одна из кривых, которая не совсем была похожа на форму яйца, лучше остальных описывала движение объекта. В результате мы получили, что небольшое отклонение угла в одну из сторон от критического значения заставляет яйцо вращаться на конце, соответствующему стороне отклонения.
Для Декартова овала мы получили такой график:
На нём можно наблюдать критический угол θс, который равен 106 o. Здесь VP — (нормированная) скорость точки касания P.
Когда яйцо лежит на поверхности в положении равновесия, его центр масс смещен к тупому концу, поэтому при раскручивании из этого положения яйцо будет вращаться на толстом конце, что в принципе чаще наблюдается на практике. А если при раскручивании направить тонкий конец немного вниз (то есть отклонить ось яйца на угол, больший критического), яйцо «встанет» на него. Также для некоторых овальных кривых теория предсказывает наличие точки равновесия, отличной от концов яйца, но на практике это не наблюдается. Вероятно, это отклонение связано с модельными упрощениями, которые мы использовали при решении задачи.
Несмотря на то, что на это небольшое исследование мы потратили много времени (около недели ежедневной работы с учетом обычного домашнего задания), задача показалась нам очень интересной, а процесс ее решения — увлекательным. Это был хороший опыт для нас, как для будущих исследователей. Мы поняли, что некоторые бытовые явления описываются весьма сложными физическими моделями. А часть уравнений, используемых при расчетах, и вовсе нельзя решить в общем случае. Казалось бы, что вращение яйца не является слишком сложным движением, но даже в нем мы использовали достаточно сильные пренебрежения. Еще нам очень понравилось выступать перед одногруппниками: они задавали неожиданные вопросы, мы дискутировали — словом, все как на настоящей научной конференции.
* Наш ответ на вопрос о неоднородности яйца: вместе с одногруппниками мы подумали, что проблему может решить «взбалтывание» яйца перед варкой. Чтобы добиться этого, можно аккуратно проколоть скорлупу шилом и размешать желток внутри. После этого яйцо следует аккуратно сварить.