• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Бакалаврская программа «Социология и социальная информатика»

Алгебра и анализ

2018/2019
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
6
Кредиты

Автор программы


Маринов Илья Львович
Статус:
Курс по выбору
Когда читается:
1-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватели


Рыжков Владимир Сергеевич

Программа дисциплины

Аннотация

Целями освоения дисциплины «Алгебра и анализ» являются изучение разделов матричной ал-гебры, решения систем линейных уравнений и векторного анализа, разделов «Пределы функ-ций», «Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчисление», позволяющие студенту ориентироваться в прикладных вопросах, требующих использования математического аппара-та. Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения методов решения задач из многих областей знания, для построения и исследования математических моделей та-ких задач. Дисциплина является модельным прикладным аппаратом для изучения студентами-социологами математической компоненты своего профессионального образования.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • изучение разделов матричной алгебры, решения систем линейных уравнений и векторного анализа, разделов «Пределы функций», «Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчисление»
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Понимает язык теории множеств, основы анализа
  • Знает понятия теории графов, умеет использовать метод математической индукции
  • Умеет считать производную функции одной переменной и исследовать функцию одной переменной
  • Умеет производить действия с матрицами и вычислять определитель матрицы
  • Умеет решать системы линейных уравнений
  • Умеет выполнять действия с векторами, собственными векторами и линейными операторами
  • Может выполнять действия с векторами в пространстве, вычислять расстояние между прямыми и от точки до прямой
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Элементарные функции и их свойства.
    Понятие множества. Подмножество. Пустое множество. Множество всех подмножеств множества. Операции над множествами. Декартово произведение множеств. Соответствие, отношение, бинарное отношение. Взаимно однозначное соответствие. Эквивалентные множества, счетные и несчетные множества. Примеры. Элементы математической логики: логические символы. Понятие отображения (функции), его области определения и области значений. Элементарные функции. Обратное отображение. Композиция отображений. Элементарные понятия теории графов. Множество всех вещественных чисел и множество всех точек числовой прямой, эквивалентность этих множеств. Свойства действительных чисел. Подмножества множества действительных чисел. Ограниченные (сверху, снизу) и неограниченные (сверху, снизу) множества. Понятие окрестности действительного числа (точки) и окрестности с выколотым центром. Понятие предельной точки точечного множества на числовой прямой. Внутренние и граничные точки. Множества всюду плотные.
  • Предел и непрерывность функции одной переменной
    Примеры последовательностей. Предел числовой последовательности. Существование предела у ограниченной монотонной последовательности. Лемма о вложенных отрезках. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса о выделении сходящейся подпоследовательности. Лемма о существовании предельной точки у ограниченного бесконечного множества на числовой оси. Предел функции одной переменной. Бесконечно малые (бесконечно большие) величины и их связь с пределами функций. Функции одной переменной, не имеющие предела в точке и на бесконечности. Первый и второй замечательные пределы. Второй замечательный предел в задаче о начислении процентов. Символы о-малое и О-большое и их использование для раскрытия неопределенностей. Непрерывность функции в точке и на множестве.Точки разрыва и их классификация. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность основных элементарных функций. Непрерывность сложной функции. Теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши о непрерывной на отрезке функции. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции у строго монотонной функции, непрерывной на отрезке.
  • Производная функции одной переменной. Исследование дифференцируемых функций одной переменной
    Понятие производной функции одной переменной. Геометрическая и экономическая интерпретации производной. Уравнение касательной. Понятие о предельной полезности продукта и предельной производительности ресурса. Понятие об эластичности функции. Понятие дифференцируемой функции. Связь непрерывности и дифференцируемости функции одной переменной. Производная суммы, произведения, частного, сложной и обратной функции. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Производные основных элементарных функций. Понятие дифференциала функции одной переменной. Геометрическая интерпретация дифференциала. Свойства дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной и их свойства. Иллюстрация экономического смысла второй производной. Понятие об экстремумах функции одной переменной. Задача максимизации прибыли фирмы. Локальный экстремум (внутренний и граничный) функции одной переменной. Необходимое условие внутреннего локального экстремума (теорема Ферма). Теоремы о среднем значении (теоремы Ролля, Лагранжа и Коши) и их геометрическая интерпретация. Правило Лопиталя. Формулы Тейлора и Маклорена и их использование для представления и приближенного вычисления значений функций. Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции на интервале. Достаточные условия локального экстремума функции одной переменной. Выпуклые (вогнутые) функции одной переменной. Необходимое и достаточное условие выпуклости (вогнутости). Точка перегиба. Необходимое и достаточное условия точки перегиба. Вертикальные и невертикальные асимптоты графика функции одной переменной. Исследование функции одной переменной с использованием первой и второй производных и построение ее графика. Определение глобального максимума (минимума) функции одной переменной в области ее определения. Решение задачи максимизации прибыли фирмы в терминах объема выпускаемой продукции, а также в случае одного ресурса.
  • Преобразования матриц и системы линейных уравнений. Алгебра матриц. Определитель. Линейные пространства
    Матрицы. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений. эле¬ментар-ные преобразования матриц. Обратимость элементарных преобразований. При¬ведение матриц к ступенчатому виду элементарными преобразованиями. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений со ступен¬чатой матрицей системы. Общее ре¬шение систем линейных уравнений. Главные и сво¬бодные неизвестные. Геометрическая интер¬претация систем линейных уравнений в случае двух или трех неизвестных. Ненулевые решения однородной системы уравне¬ний. Определитель и элементарные преобразования. Построение определителя раз¬ложением по столбцу. Определитель транспонированной матрицы. Вычисление опре¬делителя разложением по строке. Сумма матриц. Умножение матрицы на число. Произведение матриц. Матрич¬ная за¬пись системы уравнений. Свойства арифметических операций над матрицами. Обратная мат¬рица и формулы Крамера. Построение обратной матрицы элементарными преобразованиями. Преобразование координат при замене базиса. Простейшие следствия аксиом линейного пространства. Подпространство ли¬нейного пространства. Простейшие свойства линейно зависимых векторов. Базис и ко¬ординаты векторов. Существование базиса конечномерного пространства. Размерность линейного пространства.
  • Системы линейных уравнений. Ранг матрицы. Структура множества решений системы линейных уравнений
    Ранг матрицы. Ранг ступенчатой матрицы. Неизменность ранга при элементар¬ных пре-образованиях. Теорема о ранге матрицы. Критерий линейной независимости системы строк (столбцов). Ранг произведения матриц. Определитель произведения матриц. Векторная запись системы уравнений. Теорема Кронекера-Капелли о совмест¬ности системы линейных уравнений. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Структура множества решений системы линейных урав¬нений. Теорема о выборе главных и свободных неизвестных.
  • Элементы векторной алгебры
    Скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство тре¬угольника. Длина вектора и угол между векторами. Ортогональность векторов. Незави¬симость попарно ор¬тогональных векторов. Ортогональная проекция вектора на подпро¬странство. Построение орто¬нормированного базиса ортогонализацией произвольного базиса. Матрица скалярного произве¬дения в ортонормированном базисе. Ортогональ¬ные матрицы. Геометрическая интерпретация ортогональных матриц. Сопряженность операторов в евклидовом пространстве. Матрицы сопряженных опера-торов. Собственные векторы и собственные значения самосопряженных операто¬ров. Ортонор-мированный базис из собственных векторов самосопряженного оператора. Приведение квадра-тичной формы к каноническому виду. Преобразование координат точки при замене системы координат. Линейные отображе-ния. Линейные операторы, связанные с линейными отображениями. Геомет¬рические свойства линейных отображений. Аффинные и изометрические отображения.
  • Элементы аналитической геометрии
    Прямоугольная система координат на плоскости. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении. Векторы. Равенство векторов. Координаты век¬тора. Сложение век¬торов. Умножение вектора на число. Разложение вектора плоскости по двум неколлинеарным векторам. Скалярное произведение векторов. Общее уравнение прямой на плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой. Преобразование координат точки при замене системы координат. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов. Общее уравнение плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Контрольная работа 1
  • неблокирующий Контрольная работа 2
  • неблокирующий Контрольная работа 3
  • неблокирующий Индивидуальное домашнее задание
  • неблокирующий Аудиторная работа
  • неблокирующий Экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.06 * Аудиторная работа + 0.06 * Индивидуальное домашнее задание + 0.162 * Контрольная работа 1 + 0.162 * Контрольная работа 2 + 0.156 * Контрольная работа 3 + 0.4 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Математика для экономического бакалавриата: Учебник / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. - М.: ИНФРА-М, 2011. - 472 с.: 60x90 1/16. - (Высшее образование). (переплет) ISBN 978-5-16-004467-5 - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/221082
  • Павлюченко Ю. В., Хассан Н. Ш. ; Под общ. ред. Павлюченко Ю. В.-ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ГУМАНИТАРНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ 4-е изд., пер. и доп. Учебник и практикум для прикладного бакалавриата-М.:Издательство Юрайт,2019-238-Бакалавр. Прикладной курс-978-5-9916-7037-1: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/vysshaya-matematika-dlya-gumanitarnyh-napravleniy-431840

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Бурмистрова, Е. Б. Линейная алгебра : учебник и практикум для академического бакалавриата / Е. Б. Бурмистрова, С. Г. Лобанов. — Москва : Издательство Юрайт, 2014. — 421 с. — (Бакалавр. Академический курс). — ISBN 978-5-9916-2995-9. — Текст : электронный // ЭБС Юрайт [сайт]. — URL: https://biblio-online.ru/bcode/374078
  • Шипачев В.С.-ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ПОЛНЫЙ КУРС 4-е изд., испр. и доп. Учебник для академического бакалавриата-М.:Издательство Юрайт,2016-607-Бакалавр. Академический курс-978-5-9916-4358-0: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/vysshaya-matematika-polnyy-kurs-388659