Дисциплина направлена на формирование у студентов теоретических знаний и практических навыков по основам применения численных методов для решения различных задач.
Цель освоения дисциплины
Формирование у студентов теоретических знаний и практических навыков по основам применения численных методов для решения различных задач.
Ознакомление студентов с приближенными методами для решения задач интерполяции, аппроксимации, приближённого решения уравнений, возникающих при работе с данными.
Планируемые результаты обучения
Владеет методами простой итерации, Зейделя, релаксации для решения СЛАУ. Знает теорему о сходимости стационарных итерационных методов и умеет ее применять в частных случаях. Владеет методом Ричардсона и градиентным методом решения СЛАУ.
Владеет методами Рунге-Кутты 2-го порядка для решения ОДУ, выводит общие формулы, частные случаи, проводит оценку погрешности методов Рунге- Кутты. Владеет методами контроля локальной вычислительной погрешности при решении ОДУ
Записывает интерполяционный полином в форме Лагранжа и в форме Ньютона. Проводит оценку погрешности интерполяционного полинома. Записывает интерполяционный полином с узлами полиномов Чебышева. Владеет методом наименьших квадратов приближения табличных функций. Умеет использовать сплайны для интерполяции табличных функций.
Решает простейших СЛАУ. Знает теорему о LDR-разложении матрицы, использует ее для решения СЛАУ. Владеет алгоритмом LU-разложения с выбором ведущего элемента, алгоритмом QR-разложения матрицы и использует их для решения СЛАУ
Записывает интерполяционный полином в форме Лагранжа и в форме Ньютона.
Проводит оценку погрешности интерполяционного полинома.
Записывает интерполяционный полином с узлами полиномов Чебышева.
Владеет методом наименьших квадратов приближения табличных функций.
Использует сплайны для интерполяции табличных функций.
Использует построение аппроксимаций Паде функций, заданных рядом Тейлора.
Получает выражения различной степени точности для производных через оператор приращения и через оператор сдвига.
Владеет квадратурными формулами приближенного интегрирования (в том числе составными) на равномерной сетке.
Получает формулы наивысшей алгебраической степени точности.
Применяет методы золотого сечения и метод парабол для нахождения минимумов функций.
Использует методы спуска и сопряжённых направлений в многомерном случае поиска минимума.
Находит корни уравнений по методам дихотомии, Ньютона, секущих.
Применяет метод парабол для нахождения комплексных корней .
Решает СЛАУ как прямыми (LU разложение с частичным и полным выбором главного элемента, метод вращений и метод отражений Хаусхолдера), так и итерационными методами: простые итерации, метод Зейделя
Использует итерационные методы поиска собственных чисел, в том числе и для жордановой аномалии.
Использует методы Рунге-Кутты различных порядков для решения ОДУ.
Выводит методы Адамса и методы прогноз-коррекции.
Использует методы Нумерова для повышения точности.
Использует методы сеток для краевых задач и задачи Штурма-Лиувилля.
Для разностного оператора второй производной считает резольвенту.
Применяет методы теории возмущений.
Содержание учебной дисциплины
Тема 1. Интерполяции таблиц и аппроксимации функций
Тема 2. Численное дифференцирование и интегрирование
Тема 3. Поиск минимума и нахождение корней уравнений для нелинейных систем и СЛАУ
Тема 4. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)
Элементы контроля
Экзамен №1
Экзамен проводится в письменной форме. Экзаменационный билет содержит три вопроса из разных разделов курса. По одному из вопросов может быть дана простая задача, на которой экзаменуемый объясняет применение метода. На подготовку ответа выделяется 2,5 часа.
Домашнее задание
Домашние задания выдаются студентам в пяти вариантах, каждое домашнее задание состоит из 1 задачи. Домашние задания являются типовыми индивидуальными. Отличие состоит в исходных данных, особенностях применения вычислительного алгоритма и результатах численных экспериментов. Срок выполнения домашнего задания – 2 недели. Форма представления обучающимися домашнего задания – отчет о решении задачи.
Промежуточная аттестация
2026/2027 4th module
0.6 * Экзамен №1 + 0.2 * Домашнее задание
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
Пименов, В. Г. Численные методы в 2 ч. Ч. 1 : учебник для вузов / В. Г. Пименов. — Москва : Издательство Юрайт, 2025. — 111 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-10886-6. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/563516 (дата обращения: 02.07.2026).
Пименов, В. Г. Численные методы в 2 ч. Ч. 1 : учебное пособие для вузов / В. Г. Пименов. — Москва : Издательство Юрайт, 2019 ; Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та ; Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та. — 111 с. — (Университеты России). — ISBN 978-5-534-10886-6 (Издательство Юрайт). — ISBN 978-5-7996-1032-6 (Изд-во Урал. ун-та). — ISBN 978-5-7996-1015-9 (Изд-во Урал. ун-та). — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/432203 (дата обращения: 28.08.2023).
Пименов, В. Г. Численные методы в 2 ч. Ч. 2 : учебник для вузов / В. Г. Пименов, А. Б. Ложников. — Москва : Издательство Юрайт, 2025. — 107 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-10891-0. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/563517 (дата обращения: 02.07.2026).
Пименов, В. Г. Численные методы в 2 ч. Ч. 2 : учебное пособие для вузов / В. Г. Пименов, А. Б. Ложников. — Москва : Издательство Юрайт, 2019 ; Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та ; Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та. — 107 с. — (Университеты России). — ISBN 978-5-534-10891-0 (Издательство Юрайт). — ISBN 978-5-7996-1342-6 (Изд-во Урал. ун-та). — ISBN 978-5-7996-1015-9 (Изд-во Урал. ун-та). — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/432207 (дата обращения: 28.08.2023).
Численные методы : учебник и практикум для вузов / под редакцией У. Г. Пирумова. — 5-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2026. — 421 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-03141-6. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/582783 (дата обращения: 02.07.2026).
Пименов, В. Г. Численные методы: разностные схемы решения уравнений : учебное пособие для вузов / В. Г. Пименов ; под научной редакцией А. Б. Ложникова. — Москва : Издательство Юрайт, 2019 ; Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та. — 134 с. — (Университеты России). — ISBN 978-5-534-10892-7 (Издательство Юрайт). — ISBN 978-5-7996-1924-4 (Изд-во Урал. ун-та). — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/432208 (дата обращения: 28.08.2023).
Сухарев, А. Г. Численные методы оптимизации : учебник и практикум для академического бакалавриата / А. Г. Сухарев, А. В. Тимохов, В. В. Федоров. — 3-е изд., испр. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 367 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-04449-2. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/427001 (дата обращения: 28.08.2023).
Преподаватель
Токман Мария Александровна
Программа дисциплины
Аннотация
Цель освоения дисциплины
Планируемые результаты обучения
Содержание учебной дисциплины
Элементы контроля
Промежуточная аттестация
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
Рекомендуемая дополнительная литература
Авторы