Кто читает:: Департамент информатики

Статус:: Курс обязательный

Когда читается:: 2-й курс, 1, 2 модуль

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Дисциплина посвящена базовым идеям и методам анализа Фурье. Курс связывает ряды и преобразования Фурье с задачами математического анализа, дифференциальными уравнениями, геометрией, теорией приближений, обработкой дискретных данных и элементарной аналитической теорией чисел. В первой части изучаются происхождение рядов Фурье, их единственность, свертка, аппроксимативные единицы, суммирование Чезаро и Абеля, среднеквадратичная и точечная сходимость. Во второй части рассматриваются преобразование Фурье на ℝ и ℝᵈ, уравнения теплопроводности и колебаний, принцип неопределенности, радиальные функции и преобразование Радона. Завершают курс конечный анализ Фурье, алгоритм FFT, характеры конечных абелевых групп и применение характеров Дирихле и L-функций к теореме о простых в арифметических прогрессиях. Для освоения дисциплины необходимы знания пределов, производных, числовых и функциональных рядов, интеграла Римана, элементов многомерного анализа, линейной алгебры и обыкновенных дифференциальных уравнений. В рамках самостоятельной работы повторяются интегрирование на ℝᵈ, замена переменных и несобственные интегралы.

Цель освоения дисциплины

Сформировать целостное представление о рядах, интегралах и конечном анализе Фурье как взаимосвязанных разделах математического анализа.
Научить применять методы Фурье к задачам аппроксимации, уравнениям в частных производных, геометрии и теории чисел.
Развить навыки строгого доказательства, оценки сходимости и обоснования предельных переходов.
Сформировать устойчивые навыки решения теоретических и вычислительных задач по тематике дисциплины.

Планируемые результаты обучения

Вычисляет вещественные и комплексные коэффициенты Фурье, использует симметрии функций и оценивает скорость убывания коэффициентов.
Различает точечную, равномерную, абсолютную и среднеквадратичную сходимость; применяет теоремы Фейера, Парсеваля и Римана-Лебега.
Использует свертку, аппроксимативные единицы и методы суммирования Чезаро и Абеля для исследования и восстановления функций по рядам Фурье.
Решает изученные задачи Коши и Дирихле для волнового уравнения, уравнения теплопроводности и уравнения Лапласа методами анализа Фурье.
Объясняет роль характеров и L-функций Дирихле в доказательстве существования бесконечного числа простых в арифметической прогрессии.
Строит строгие доказательства, корректно обосновывает перестановку суммы, интеграла и предела, оценивает ошибку аппроксимации.
Представляет математические утверждения и решения ясно и точно в письменной и устной форме; самостоятельно работает с учебными и исследовательскими задачами по дисциплине.
Выполняет дискретное преобразование Фурье, объясняет алгоритм FFT и строит анализ Фурье на конечных абелевых группах с помощью характеров
Применяет анализ Фурье к принципу неопределенности, равномерному распределению, радиальным функциям, функциям Бесселя и преобразованию Радона.
Применяет преобразование Фурье на ℝ и ℝᵈ, свойства пространства Шварца, формулы обращения, Планшереля и суммирования Пуассона.

Содержание учебной дисциплины

Раздел 1. Возникновение анализа Фурье
Раздел 2. Основные свойства рядов Фурье
Раздел 3. Сходимость рядов Фурье
Раздел 4. Приложения рядов Фурье
Раздел 5. Преобразование Фурье на ℝ
Раздел 6. Преобразование Фурье на ℝᵈ
Раздел 7. Конечный анализ Фурье
Раздел 8. Теорема Дирихле

Элементы контроля

Экзамен
Письменный экзамен по всему курсу. Билет содержит два теоретических вопроса и две задачи, представляющие разные части курса. Продолжительность - 150 минут.
Контрольная работа №2
Аудиторная письменная работа по разделам 5-7 дисциплины. Содержит теоретическое задание и 3-4 задачи без использования внешних материалов. Продолжительность - 120 минут.
Домашнее задание №1
Индивидуальная письменная работа по разделам 1-4 дисциплины. Содержит 10-12 задач; срок выполнения - 2 недели. Полные решения представляются с обоснованием всех используемых предельных переходов.
Домашнее задание №2
Индивидуальная письменная работа по разделам 5-8 дисциплины. Содержит 10-12 задач; срок выполнения - 2 недели. Полные решения представляются с обоснованием формул обращения, предельных переходов и используемых оценок.
Коллоквиум
Коллоквиум проводится в устной форме по разделам 1-4 дисциплины. Билет содержит два теоретических вопроса и одну короткую задачу. После подготовки студент отвечает преподавателю; преподаватель может задать уточняющие вопросы.
Контрольная работа №1
Аудиторная письменная работа по разделам 1-4 дисциплины. Содержит теоретическое задание и 3-4 задачи без использования внешних материалов. Продолжительность - 120 минут.

Промежуточная аттестация

2026/2027 2nd module
итоговая оценка рассчитывается на основании текущего контроля, коллоквиума и экзамена. Отекущий = 0,3ОКР1 + 0,3ОКР2 + 0,2ОДЗ1 + 0,2ОДЗ2 Оитоговая = 0,6Отекущий + 0,2Околлоквиум + 0,2Оэкзамен Все элементы оцениваются по десятибалльной шкале. Итоговая оценка округляется до целого числа по математическим правилам. Коллоквиум, экзамен и обе контрольные являются блокирующими: при оценке ниже 4 по любому из этих элементов итоговая оценка не может превышать 3.

Список литературы

Авторы

Симарова Екатерина Николаевна

Бакалаврская программа «Программирование и инжиниринг компьютерных игр»

Контакты:

Математический анализ 2

Программа дисциплины