• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
02
Октябрь

Алгебра и анализ: вводный курс (продвинутый уровень)

2021/2022
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
3
Кредиты
Статус:
Курс по выбору
Когда читается:
1-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватель


Рунев Евгений Валентинович

Программа дисциплины

Аннотация

Целью освоения дисциплины «Алгебра и анализ: вводный курс(продвинутый уровень)» является изучение разделов «Множества и отображения», «Векторы и системы координат», «Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве», «Алгебра комплексных чисел», «Полиномы и рациональные дроби», позволяющие студенту ориентироваться в таких дисциплинах, как «Линейная алгебра», «Математический анализ–I», «Математический анализ–II», «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Эконометрика». Курс «Алгебра и анализ: вводный курс (продвинутый уровень)» будет использоваться в теории и приложениях дисциплин экономического цикла. Материалы курса могут быть использованы для построения и исследования математических моделей в различных предметных областях, в первую очередь в экономике.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • изучение разделов «Множества и отображения», «Векторы и системы координат», «Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве», «Алгебра комплексных чисел», «Полиномы и рациональные дроби», позволяющие студенту ориентироваться в таких дисциплинах, как «Линейная алгебра», «Математический анализ–I», «Математический анализ–II», «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Эконометрика»
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Анализирует взаимное расположение прямых на плоскости, находит углы между прямыми, точку пересечения прямых, вычисляет расстояния: от точки до прямой, между параллельными прямыми. Используя взаимное расположение прямых, строит уравнение прямой, проходящей параллельно / перпендикулярно / под углом к заданной прямой / к оси координат через фиксированную точку.
  • Выделяет целую часть из рациональной дроби.
  • Выполняет операции над множествами (в том числе используя графическое изображение множеств на плоскости).
  • Вычисляет расстояния между объектами в пространстве (от точки до прямой, от точки до плоскости, между прямыми, между плоскостями, от прямой до плоскости).
  • Демонстрирует знание концепции уравнения прямой линии на плоскости, умение составить уравнение прямой, построить график прямой линии, применять условия взаимного расположения прямых на плоскости в решении геометрических и экономических задач.
  • Демонстрирует умение представлять правильную рациональную дробь в сумму простейших дробей.
  • Знает основные элементарные функции, умеет строить графики элементарных функций с помощью основных преобразований на плоскости.
  • Знает свойства модуля, решает уравнения и неравенства с применением свойств модуля.
  • Знает свойства скалярного, векторного, смешанного произведений.
  • Знает условия коллинеарности, ортогональности и компланарности векторов.
  • Находит элементы геометрических фигур (стороны, углы, высоты и т.д.).
  • Определяет взаимное расположение двух прямых в пространстве, находит угол между прямыми, знает условие перпендикулярности и параллельности. Анализирует взаимное расположение прямой и плоскости, вычисляет угол между прямой и плоскостью, знает условия перпендикулярности и параллельности, находит точки пересечения прямой и плоскости, двух прямых.
  • Производит арифметические операции с комплексными числами, возводит в степень и извлекает корень, интерпретирует результаты геометрически.
  • Решает примеры на применение скалярного, векторного и смешанного произведений для нахождения углов между векторами, площадей треугольника и параллелограмма и объемов параллелепипеда и тетраэдра.
  • Составляет уравнение плоскости в пространстве (по точке и нормальному вектору, по трём точкам, по точке и двум коллинеарным векторам), уравнение прямой в пространстве (канонические уравнения; параметрические уравнения; прямая, как пересечение плоскостей).
  • Составляет уравнение прямой на плоскости (каноническое, общее, в отрезках, параметрическое уравнение, уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках, уравнение по двум точкам), умеет переходить от одной формы уравнения к другой.
  • Строит композицию отображений, обратное отображение, определяет свойства отображения.
  • Умеет находить область определения, множество значений функции, исследовать функцию на монотонность, чётность/нечетность, периодичность.
  • Умеет применять основные операции над векторами к решению практических и геометрических задач (в том числе используя теорему о делении отрезка в заданном отношении).
  • Умеет применять теоремы Безу, Декарта к конкретным многочленам, раскладывать многочлены на множители с использованием теоремы о рациональных корнях многочлена.
  • Умеет работать с комплексными числами в произвольной форме записи (алгебраическая, тригонометрическая, показательная), решает уравнения и неравенства с комплексными числами и интерпретирует результаты геометрически.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Множества и отображения
    Множества и подмножества. Пустое множество. Множество всех подмножеств множества. Задание множеств. Операции над множествами. Декартово произведение множеств. Взаимно однозначное соответствие. Эквивалентные множества, счетные и несчетные множества. Примеры. Множество вещественных чисел. Расширенная числовая ось. Аксиоматика вещественных чисел. Подмножества множества вещественных чисел. Отображение. Область определения и область значений. Числовая функция: график числовой функции, монотонность, периодичность, чётные и нечётные функции. Арифметические операции над числовыми функциями. Наибольшее и наименьшее значение монотонной функции. Элементарные функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Преобразования графиков элементарных функций на плоскости (сдвиги по осям, масштабные преобразования, отражения). Обратное отображение, его свойство. Композиция отображений. Свойства композиции. Инъективное, сюръективное и биективное отображения. Примеры числовых функций, задающих сюръективное, инъективное и биективное отображения.
  • Векторы и системы координат
    Геометрические векторы, как класс эквивалентности направленных отрезков: аксиоматика линейного пространства, коллинеарные и компланарные векторы, угол между векторами, ортогональные векторы, длина(норма) вектора, свойства нормы, нормировка вектора, наборы(системы векторов), упорядоченные наборы векторов, ортогональные и ортонормированные системы векторов. Линейная зависимость векторов, линейно независимые векторы, базис. Координаты вектора в базисе. Замена базиса: матрица перехода, групповые свойства. Системы координат: декартова система координат, замена декартовой системы координат. Полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат. Аффинное пространство: определение, свойства, примеры. Скалярное произведение векторов: определение, свойства, проекция вектора на направление, выражение скалярного произведения в ортонормированном и произвольном базисах. Неравенство Коши-Буняковского. Теорема Пифагора. Задача об ортогональной проекции. Ориентированные объёмы и площади: ориентация на плоскости и в пространстве, ориентированный объём параллелепипеда, ориентированная площадь параллелограмма, их свойства, выражение в декартовых и произвольных системах координат. Векторное произведение: определение, свойства, вычисление в произвольной системе координат, двойное векторное произведение.
  • Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
    Прямая на на плоскости: способы задания прямой, взаимное расположение двух прямых, линейное неравенство, пучок прямых. Нормальное уравнение прямой. Метрические задачи: расстояние от точки до прямой, угол между прямыми. Плоскость в пространстве: способы задания плоскостей, взаимное расположение плоскостей, линейное неравенство, пучок плоскостей. Нормальное уравнение плоскости. Метрические задачи: расстояние от точки до плоскости, расстояние от точки до прямой, расстояние между плоскостями, угол между плоскостями. Прямая в пространстве: способы задания прямой в пространстве, взаимное расположение двух прямых в пространстве. Метрические задачи: расстояние от точки до прямой, расстояние между скрещивающимися прямыми.
  • Алгебра комплексных чисел
    Определение, арифметические операции и их свойства. Модуль, комплексное сопряжение. Алгебраическая форма записи. Геометрическая интерпретация. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Показательная форма записи комплексного числа. Формулы Эйлера. Возведение в натуральную степень. Формулы Муавра. Извлечение корня n-й степени из комплексного числа. Уравнения и неравенства с комплексными числами и их геометрическая интерпретация.
  • Полиномы и рациональные дроби
    Степень полинома. Операции над полиномами – сложение, умножение. Корень полинома. Делимость полиномов. Неприводимый полином. Теорема Безу. Теорема Декарта. Теорема Виета. Разложение полиномов на множители. Основная теорема высшей алгебры (теорема Гаусса). Теорема о полиноме с целыми коэффициентами. Деление полиномов с остатком. Схема Горнера. Теорема о каноническом разложении полинома. Кратные корни полинома. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей. Случай простых вещественных корней знаменателя дроби.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Индивидуальное домашнее задание 1
    Индивидуальное домашнее задание 1 включает задания по разделу "Множества и отображения". На выполнение задания отводится три дня. При необходимости, выполненная работа сканируется и прикрепляется в Smart LMS. Основной формат сдачи ИДЗ — индивидуальная защита для контроля письменной части. Требования к устной части доводятся до сведения студентов вместе с вариантами ИДЗ с помощью Smart LMS или иных корпоративных средств связи. По решению преподавателя семинаров некоторые индивидуальные домашние задания могут состоять из внеаудиторной и аудиторной частей.
  • неблокирующий Индивидуальное домашнее задание 2
    Индивидуальное домашнее задание 2 включает задания по разделам "Комплексные числа" и "Многочлены и рациональные дроби". На выполнение задания отводится три дня. При необходимости, выполненная работа сканируется и прикрепляется в SmartLMS. Основной формат сдачи ИДЗ — индивидуальная защита для контроля письменной части. Требования к устной части доводятся до сведения студентов вместе с вариантами ИДЗ с помощью Smart LMS или иных корпоративных средств связи. По решению преподавателя семинаров некоторые индивидуальные домашние задания могут состоять из внеаудиторной и аудиторной частей. Выдача вариантов происходит в курсе на платформе SmartLMS. Выполненная работа сканируется и прикрепляется в SmartLMS. При указании в задании ответы вводятся в систему. По решению преподавателя семинаров некоторые индивидуальные домашние задания могут состоять из внеаудиторной и аудиторной частей. Внеаудиторная часть по усмотрению преподавателя семинарских занятий может быть вынесена на индивидуальную защиту.
  • неблокирующий Самостоятельная работа
    Самостоятельная работа включает задания по разделу "Множества и отображения". Самостоятельная работа проводится письменно, в аудитории, после выполнения индивидуального домашнего задания 1. Время выполнения - 30 минут. По усмотрению преподавателя семинарских занятий может быть проведён устный формат сдачи для контроля письменной части. Требования к устной части доводятся до сведения студентов за неделю до проведения посредством корпоративных средств связи.
  • неблокирующий Контрольная работа
    Контрольная работа включает задания по разделам "Векторы и системы координат" и "Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве". Основной формат сдачи работы — письменно, одновременно может использоваться устный формат сдачи для контроля письменной части. Требования к устной части доводятся до сведения студентов за неделю до проведения посредством корпоративных средств связи. В случае карантинных ограничительных мер контрольная работа проводится дистанционно в письменной форме, в этом случае на проведение выделяется 90 минут и 10 минут на загрузку заданий. Работа проводится на платформе Smart LMS с дополнительным использованием платформ Zoom или MS Teams . Студенту необходимо подключиться за 15 минут до начала проведения контрольной работы, по сигналу преподавателя приступить к решению заданий в Smart LMS. Компьютер или ноутбук студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, скоростной интернет, поддержка Zoom/MS Teams. Ответы к заданиям должны быть записаны на белых листах А4, черной ручкой, листы пронумерованы, при указании в задании ответы дополнительно могут быть введены в окно для ответа. После окончания работы студент должен сфотографировать/отсканировать свое решение и загрузить в Smart LMS. Фотографии должны быть вертикальными, чтобы текст не был размыт и читался однозначно. Ответы и номера заданий нужно выделить. На протяжении работы камера и микрофон должны быть включены. Требуется расположить камеру сбоку или фронтально от себя таким образом, чтобы она была направлена на рабочее поле – лист, на котором выполняется работа, на студента и пространство вокруг студента (помещение должно быть хорошо освещено). Разрешается использовать вход в Zoom / MS Teams с мобильного телефона с его камерой. По требованию преподавателя студент обязан переключиться на трансляцию своего экрана: включить заднюю камеру мобильного телефона или повернуть в течение 5 секунд телефон к экрану компьютера, или запустить демонстрацию экрана. Выходить во время контрольной работы покидать комнату нельзя. На столе можно иметь только письменные принадлежности, без пенала, чистые листы бумаги и воду. Наличие каких-либо носителей информации поблизости от рабочего места студента, а также других людей, считается нарушением и подлежит удалению студента с контрольной работы и выставлением оценки «0». Во время контрольной работы студентам запрещено выключать камеру и микрофон: до окончания работы видео и звук должны оставаться активными, включая время на сканирование выполненной работы и отправку ее на проверку. Кратковременным нарушением связи во время контрольной работы считается нарушение связи менее 5 минут и не более одного раза. Долговременным нарушением связи во время контрольной работы считается нарушение от 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент может продолжить участие в написании работы по усмотрению преподавателя.
  • неблокирующий Экзамен
    Экзамен может состоять из двух частей. Часть 1 - письменная работа. Часть 2 - устная часть. В этом случае за две недели до экзамена будут выданы инструкции по процедуре проведения экзамена.
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.1 * Индивидуальное домашнее задание 1 + 0.1 * Индивидуальное домашнее задание 2 + 0.24 * Контрольная работа + 0.12 * Самостоятельная работа + 0.44 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Ч. 1 4-е изд., пер. и доп. Учебник для бакалавров - М.:Издательство Юрайт - 2016 - 660с. - ISBN: 978-5-9916-2733-7 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/matematicheskiy-analiz-ch-1-389342
  • Кудрявцев Л.Д. - КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В 3 Т. ТОМ 2 В 2 КНИГАХ 6-е изд., пер. и доп. Учебник для бакалавров - М.:Издательство Юрайт - 2016 - 720с. - ISBN: 978-5-9916-6126-3 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/kurs-matematicheskogo-analiza-v-3-t-tom-2-v-2-knigah-387530

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Путко Б.А., Тришин И.М., Кремер Н.Ш. - под ред. - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В 2 Т. Учебник и практикум для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2016 - 634с. - ISBN: 978-5-9916-6238-3 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/matematicheskiy-analiz-v-2-t-388079