Гравитация, фейнмановский интеграл и принцип суперпозиции
В этой заметке мы увидим, как простые вопросы к относительно несложному школьному сюжету могут вывести нас на горизонты нынешней теоретической физики — например, к квантовой теории гравитации или к основаниям квантовой механики.
Временами кажется, что школьная физика изучает открытия 200-летней давности, бесконечно далекие от современной науки. Отчасти это действительно так — но лишь отчасти. В этой заметке я хотел бы показать, как простые вопросы к относительно несложному школьному сюжету могут вывести нас на горизонты нынешней теоретической физики. Конечно, за один короткий текст у меня вряд ли получится полностью раскрыть важный научный вопрос. Но показать один из возможных маршрутов для современной теоретической физики — вполне возможно. А всего таких маршрутов в науке — сотни.
Часто любят говорить, что теоретическая физика придумана Ньютоном. Он открыл необычайно эффективный способ описывать механическое движение тел — с помощью того, что сейчас называется законами Ньютона. В частности, из второго закона Ньютона \(ma = F \) следует, что орбиты планет в Солнечной системе являются эллипсами. Для этого нужно ещё знание о том, как устроена \( F \) — сила гравитационного взаимодействия между Солнцем и планетой. Она пропорциональна \( 1/r^2 \), где \( r \) — расстояние между телами. Но почему это так?
Можно сослаться на экспериментальные данные, но у фундаментальных законов вроде закона притяжения должны быть солидные теоретические объяснения. В современной науке силам предпочитают энергию, и, таким образом, нам нужно объяснить, почему энергия гравитационного взаимодействия пропорциональна \( 1/r \).
Оказывается, дело в гравитонах — квантах гравитационного поля. Современная физика учит нас, что любое взаимодействие (в том числе, и гравитационное) нужно проквантовать. Грубо говоря, сопоставить полю семейство квантов, которые переносят взаимодействие, и описать их взаимодействие друг с другом и с остальными объектами. Гравитон — как раз переносчик гравитационного взаимодействия. И у него есть важное свойство: он является безмассовым. Если бы у него была ненулевая масса, это нарушало бы локальную лоренцеву инвариантность (то есть, симметрию по отношению к преобразованиям Лоренца, которые позволяют переходить из одной системы отсчёта в другую).
В квантовой теории поля центральным объектом оказывается пропагатор — функция, которая описывает вероятность перехода частицы из одной точки пространства-времени в другую. Пропагатор массы \( m \) с импульсом \( p \) устроен как \( 1/(p^2+m^2) \). Если масса частицы равна нулю, то он превращается просто в \( 1/p^2 \).
Это пропагатор в импульсном пространстве, а нам нужно перейти в обычное, координатное. Для этого сделаем преобразование Фурье. Для массивной частицы оно породит экспоненциально убывающую с расстоянием функцию типа \( \exp (-mr) /r \). Это означает, что взаимодействия с массивными переносчиками (такие, например, как сильное и слабое взаимодействия) обречены угаснуть на дистанции порядка \( 1/m \). А вот безмассовые переносчики — фотоны и гравитоны — обеспечивают дальнодействие электромагнитному и гравитационнному полям. И энергия у этих полей и оказывается как раз порядка \( 1/r \).
Теперь обсудим сам закон Ньютона. Студенты-физики второго курса привыкли выводить его из принципа наименьшего действия. Они говорят, что лагранжиан тела с массой \( m \) пропорционален квадрату скорости тела. Здесь рассуждение простое: первой степени скорости он не может быть пропорционален по симметрии. Тогда её пришлось бы куда-то направить, что автоматически создало бы некое выделенное направление. А более высокими степенями можно пренебречь, если обычная скорость мала по сравнению со скоростью света.
А откуда вообще взялся лагранжиан? Почему современный подход к физике опирается не на законы Ньютона, а на лагранжиан и принцип наименьшего действия? И здесь опять приходится обращаться к квантовой механике — уже во второй раз, хотя мы обсуждаем самую классическую школьную задачу!
Как показал Ричард Фейнман, в квантовой механике вероятность перехода из одного состояния в другое пропорциональна интегралу по траектории перехода с весом \( \exp(iS/\hbar) \). Здесь \( i \) — мнимая единица, \( S \) — действие, \( \hbar \) — постоянная Планка. Так вот, параметр \( \hbar \) здесь — очень маленький. Особенно по сравнению с \( S \) для макроскопических объектов вроде планет Солнечной системы. Поэтому отношение \( S/ \hbar \) очень велико. Раз оно настолько большое, то экспонента от комплексного аргумента — фактически, обычные синусы и косинусы — начинает очень активно осциллировать (представьте себе функцию типа \( \cos (1000 \alpha) \) — она будет сильно меняться даже при небольших изменениях \( \alpha \)).
Изучив ещё немного матфизики (конкретно, устройство асимптотики разных интегралов), мы понимаем, что основной вклад в интеграл по траектории от сильно осциллирующей экспоненты собирается в окрестности экстремума её показателя. В нашем случае — в окрестности минимума действия \( S \). Отсюда и происходит знаменитый принцип наименьшего действия, и, как следствие, условие на лагранжиан (действие \( S \) — интеграл по времени от лагранжиана \( L \)).
Теперь давайте разберемся, почему фейнмановский интеграл по траекториям действительно такой. Откуда вообще там взялась комплексная экспонента? Отвечая на этот вопрос, мы подбираемся вплотную к принципу суперпозиции.
Представим себе, что у нас есть первая траектория от точки \( x_1 \) до точки \( x_2 \) и вторая траектория от \( x_2 \) до \( x_3 \). Принцип суперпозиции требует, чтобы переход от \( x_1 \) к \( x_3 \) был “бесшовным”, что даёт условие на вес \( W \) в интеграле по траекториям. Это условие выглядит так: \( W(S_1 + S_2) = W(S_1) W(S_2) \). Здесь \( S_1 \) и \( S_2 \) — действия на первой и второй траектории соответственно. Любой может проверить, что единственное решение этого уравнения — экспонента. Так получается, что принцип суперпозиции через квантовую механику, управляет всем, что мы видим вокруг, в том числе и движением планет в Солнечной системе.
Но остался один небольшой вопрос — а откуда взялся сам принцип суперпозиции? Почему он вообще работает?
Точный ответ на этот вопрос до сих пор не известен. Ответ на него, возможно, связан с некоторыми аспектами квантовой гравитации — науки, которую пока не удаётся построить. В некоторых работах (см. например, Alexey A. Vladimirov, Dmitri Diakonov, “Phase transitions in spinor quantum gravity on a lattice”) принцип суперпозиции получается как артефакт разложения в ряд на больших расстояниях (больших по сравнению с планковским масштабом — это комбинация размерности длины, составленная из фундаментальных физических констант: постоянной Планка \( \hbar \) , гравитационной постоянной \( G \), скорости света \( c \)). Но хорошей самосогласованной теории у нас пока нет.
Есть и работы, подходящие к принципу суперпозиции совсем с другой стороны — со стороны нейронных сетей (см. например, Mikhail I. Katsnelson, Vitaly Vanchurin, “Emergent Quantumness in Neural Networks”). Наша вселенная и законы мироздания возникают в этой модели как условия равновесия в некоторой термодинамической системе со скрытыми параметрами. Грубо говоря, можно сказать, что "квантовость" нашего мира — попросту неизбежна. Но и здесь, впрочем, открытых вопросов пока очень много.
Это значит только одно: даже если научному открытию больше 200 лет, в нем всегда есть что изучать дальше. Физика не стоит на месте, и таких задач становится все больше. Дальше выбор за нами. Можно решить, что нам всё известно, и остановиться в познании. А можно посчитать, что мы знаем только то, что ничего не знаем, — и работать дальше.
Академический руководитель программы "Физика"