Probability Theory and Mathematical Statistics

2020/2021

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

6

ECTS credits

Authors

Litvinova, Viktoria

Razgulyaeva, Liudmila

Delivered at:

Department of Mathematics

Course type:

Compulsory course

When:

1 year, 3, 4 module

Instructors

Garina, Marina

Gribkova, Nadezhda

Программа дисциплины

Аннотация

Вероятность и статистика стали важнейшим инструментом практически во всех областях прикладной науки. Логистика, управление производством и бизнес-процессами не являются здесь исключением. Цель этого курса - познакомить студентов с основными понятиями, идеями и методами теории вероятностей и математической статистики, необходимыми в их дальнейшей учебной и профессиональной деятельности.

Цель освоения дисциплины

• Формирование у студентов базовых знаний и умений в области теории вероятностей, статистики. Знакомство с основными направлениями возможных применений вероятностно-статистических методов, в частности, в области логистики. Развитие системного и логического мышления в результате изучения теории и решения задач по различным разделам курса.

Планируемые результаты обучения

• знает факты, относящиеся к последовательностям независимых испытаний
• знает начальные понятия теории вероятностей, основные идеи и факты
• умеет решать задачи на вычисление вероятностей в схеме Бернулли, применять асимптотические формулы, пользоваться вероятностными таблицами
• знает основные числовые характеристики случайных величин
• знает числовые характеристики основных распределений дискретного и непрерывного типа
• умеет решать типовые задачи на вычисление математического ожидания, дисперсии, коэффициента корреляции
• имеет понятие о модели простой линейной регрессии и о методе наименьших квадратов
• умеет решать элементарные задачи на применение методов оценивания
• знает основные методы оценки параметров распределений
• умеет применять основные критерии согласия
• умеет строить доверительные интервалы для параметров нормального закона, проверять гипотезы относительно этих параметров
• знает критерии Гаусса, Стьюдента, хи-квадрат (Пирсона)
• знает основные понятия доверительного оценивания и статистической проверки гипотез
• умеет производить первичную обработку данных наблюдений, строить оценки математического ожидания, дисперсии, функции распределения, коэффициента корреляции
• знает основные понятия, элементарного выборочного метода
• умеет решать типовые задачи на применение основных предельных теорем
• знает закон больших чисел, формулировку центральной предельной теоремы
• знает основные виды сходимости последовательностей случайных величин
• умеет решать типовые задачи на вычисление и применение функции распределения, плотности распределения вероятности
• умеет решать типовые задачи на нахождение вероятностей событий
• знает понятие случайной величины, распределения вероятностей, плотности распределения
• знает понятие независимости случайных величин
• знает основные законы распределения непрерывного и дискретного типа

Содержание учебной дисциплины

• Начальные понятия теории вероятностей.
  Испытания и события. Пространство элементарных исходов. Операции над событиями. Относительная частота события, ее свойства. Аксиоматическое определение вероятности, следствия аксиом. Эксперименты с конечным числом исходов. Классическая схема теории вероятностей, геометрические вероятности. Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимость событий (попарная и в совокупности). Пример Бернштейна. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Примеры применения.
• Последовательности независимых испытаний
  Схема испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа (формулировка, примеры применения). Закон больших чисел в схеме испытаний Бернулли. Теорема Пуассона в схеме испытаний Бернулли.
• Случайные величины
  Понятие случайной величины: определение, примеры. Случайная величина дискретного типа. Примеры важнейших распределений дискретного типа (Бернулли, биномиальное, пуассоновское, геометрическое). Функция распределения случайной величины: определение, свойства. Абсолютно непрерывные распределения. Плотность распределения случайной величины, ее свойства. Примеры важнейших абсолютно непрерывных распределений (равномерное, экспоненциальное, нормальное, Коши). Случайный вектор. Функция распределения случайного вектора. Свойства функции распределения случайного вектора. Независимость случайных величин. Случайный вектор с абсолютно непрерывным распределением. Плотность распределения. Теорема о плотности совместного распределения независимых случайных величин.
• Числовые характеристики случайных величин
  Математическое ожидание случайной величины, его свойства. Дисперсия случайной величины, ее свойства. Среднее квадратичное отклонение. Нормированная случайная величина. Вычисление математического ожидания и дисперсии для важнейших распределений дискретного типа (Бернулли, биномиального, пуассоновского, геометрического), абсолютно непрерывных (равномерного, экспоненциального). Нормальное распределение: функция распределения, свойства, смысл параметров, правило "3σ". Моменты случайной величины, центральные моменты. Параметры асимметрии и эксцесса. Ковариация и коэффициент корреляции. Свойства коэффициента корреляции, его смысл.
• Фундаментальные законы теории вероятностей
  Виды сходимости последовательностей случайных величин. Неравенства Маркова и Чебышева. Закон больших чисел (теоремы Маркова, Чебышева, Хинчина). Центральная предельная теорема. Формулировка теоремы Леви.
• Введение в математическую статистику
  Примеры задач математической статистики. Случайная выборка, вариационный ряд, выборочная квантиль, выборочная медиана. Понятие статистики, примеры статистик. Понятие оценки, свойства оценок (состоятельность, несмещенность, эффективность, асимптотическая нормальность). Эмпирическая функция распределения: определение, свойства. Теоремы Гливенко – Кантелли и Колмогорова. Гистограмма. Выборочные моменты. Выборочное среднее и выборочная дисперсия, их свойства. Оценки ковариации, коэффициента корреляции, параметров асимметрии, эксцесса.
• Доверительно оценивание, статистическая проверка гипотез
  Понятие доверительного интервала. Асимптотический доверительный интервал для математического ожидания. Распределения, связанные с нормальным законом (хи-квадрат, Стьюдента). Лемма Фишера. Нормальные выборки. Доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии. Статистическая проверка гипотез. Примеры гипотез. Статистический критерий. Ошибки I-го и II-го рода. Уровень значимости. Подход Неймана–Пирсона. Проверка гипотез о параметрах нормального закона. Критерии согласия. Критерий согласия Колмогорова. Критерий согласия Пирсона («хи-квадрат»).
• Основные методы оценки параметров
  Основные методы оценки параметров распределений: метод моментов, метод максимального правдоподобия. Примеры.
• Линейная регрессия
  Модель простой линейной регрессии. Оценка параметров методом наименьших квадратов. Статистические свойства оценок наименьших квадратов

Элементы контроля

• Контрольная работа 1 (45 минут)
  В случае чрезвычайных обстоятельств, связанных, например, со сложной эпидемиологической обстановкой, возможно проведение контрольных работ дистанционно с использованием интернет платформ таких, как Zoom, MS Teams и др. Допускается внутренний синхронный и асинхронный прокторинг.
• Контрольная работа 2 (45 минут)
  В случае чрезвычайных обстоятельств, связанных, например, со сложной эпидемиологической обстановкой, возможно проведение контрольных работ дистанционно с использованием интернет платформ таких, как Zoom, MS Teams и др. Допускается внутренний синхронный и асинхронный прокторинг.
• Контрольная работа 3 (60 минут)
  В случае чрезвычайных обстоятельств, связанных, например, со сложной эпидемиологической обстановкой, возможно проведение контрольных работ дистанционно с использованием интернет платформ таких, как Zoom, MS Teams и др. Допускается внутренний синхронный и асинхронный прокторинг.
• Аудиторная активность

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  В течение двух модулей (3-4) оцениваются: • активность на семинарских занятиях M_act • результаты выполнения 3-х контрольных работ (по 45, 45 и 60 минут соответственно) Накопленная оценка M_cum вычисляется по формуле M_cum = 0.25* M_act + 0.25*К.Р._1 + 0.2 5*К.Р._2 +0.25*К.Р._3 Итоговая оценка M_fin выводится на основе накопленной оценки по результатам текущей аттестации M_cum (см. выше) и оценки за экзамен M_exam по формуле M_fin = 0.45*M_cum + 0.55*M_exam

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики, Бородин, А.Н., 1999

Рекомендуемая дополнительная литература

• Теория вероятностей и математическая статистика : Учебник, Кремер, Н.Ш., 2004