Delivered at:: Department of Mathematics

Course type:: Elective course

When:: 1 year, 1, 2 module

Instructors

Вагурина Ирина Вячеславовна

Кузнецова Мария Станиславовна

Kuzyutin, Denis

Smirnova, Nadezhda

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Дисциплина ориентирована на студентов первого курса направления Экономика и Менеджмент, образовательной программы Международный бакалавриат по бизнесу и экономике. Целью курса является изучение базовых понятий, освоение основных методов линейной алгебры и их применения для построение экономико-математических моделей. В рамках курса изучаются теория матриц и определителей, структура решений систем линейных алгебраических уравнений, линейные пространства, евклидовы пространства, теория самосопряженных операторов и кривые второго порядка. В результате освоения дисциплины студент должен знать теорию решения матричных уравнений, элементы векторного анализа и аналитической геометрии; уметь применить аппарат линейной алгебры в задачах формирования экономических моделей и решении прикладных задач, используемых в курсах «Математические модели в экономике» и «Теория игр»; иметь навыки в решении систем линейных уравнений и построении диагональных квадратичных форм.

Цель освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Линейная алгебра» являются изучение разделов матричной алгебры, решение систем линейных уравнений и векторного анализа, позволяющие студенту ориентироваться в таких дисциплинах, как «Теория вероятностей и математическая статистика», «Методы оптимальных решений», «Математические модели в экономике». Курс «Линейная алгебра» будет использоваться в теории и приложениях многомерного математического анализа, дифференциальных уравнений, математической экономики, эконометрики. Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих областей знания, для построения и исследования математических моделей таких задач. Дисциплина является модельным прикладным аппаратом для изучения студентами направления Экономика и Менеджмент математической компоненты своего профессионального образования.
В результате освоения дисциплины студент должен: • знать теорию решения матричных уравнений, элементы векторного анализа и аналитической геометрии; • уметь применить аппарат линейной алгебры в задачах формирования экономических моделей и решении прикладных задач, используемых в курсах «Математические модели в экономике» и «Теория игр»; • иметь навыки в решении систем линейных уравнений и построении диагональных квадратичных форм.

Планируемые результаты обучения

Анализирует знакоопределенность квадратичной формы с помощью критерия Сильвестра
Верно и эффективно проводит элементарные преобразования матриц; приводит матрицу к ступенчатому виду; определяет ранг матрицы
Вычисляет определитель; верно пользуется свойствами определителя; решает матричные уравнения, находит обратную матрицу; исследует СЛАУ с помощью формул Крамера
Записывает жорданову форму матрицы
Знает канонические уравнения и свойства кривых второго порядка; определяет тип кривой второго порядка
Находит базис пространства / подпространства; определяет координаты элементов пространства относительно фиксированного базиса; находит разложения элементов пространства относительно произвольной системы векторов; строит матрицу перехода при изменении базиса
Находит матрицу линейного оператора относительно фиксированного базиса и при замене базиса; находит собственные числа и векторы линейного оператора
Определяет ортогональность векторов; строит ортогональную проекцию вектора на подпространство; проводит процесс ортогонализации для линейно независимой системы векторов; строит ортонормированный базис; применяет критерий Грама
Определяет ортогональность векторов; строит ортогональную проекцию на подпространство
Определяет простейшие алгебраические структуры; выполняет действия с матрицами; находит матрицы с заданными свойствами
Оценивает норму оператора
Приводит квадратичную форму к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования
Решает СЛАУ методом Гаусса; верно использует теоремы Кронекера-Капелли; находит фундаментальную систему решений; анализирует структуру множества решений СЛАУ
Раскладывает многочлены на множители, выделяет целую часть неправильной рациональной дроби, раскладывает правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей разными методами, производит простейшие арифметические действия с комплексными числами, переводит комплексное число к тригонометрической записи, извлекает корни из комплексных чисел и применяет формулу Муавра.
Записывает и использует уравнения прямых и плоскостей, исследует их взаимное расположение, строит множество решений систем линейных неравенств на плоскости, решает задачи геометрии, используя уравнения прямых и плоскостей.; применяет скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Содержание учебной дисциплины

Матрицы и системы линейных уравнений
Определитель
Линейные пространства
Ранг матрицы
Системы линейных алгебраических уравнений
Многочлены и рациональные дроби
Евклидовы пространства
Аналитическая геометрия
Линейные операторы
Квадратичные формы
Самосопряженные операторы
Кривые второго порядка
Жорданова форма матрицы
Норма линейного оператора

Элементы контроля

Контрольная работа 1
Контрольная работа проводится аудиторно, в письменной форме, 80 минут. В случае дистанционного формата обучения контрольная работа проводится дистанционно. В последнем случае она может состоять из двух частей – письменной (внеаудиторной) и устной (аудиторной, в том числе в онлайн формате). Студент должен продемонстрировать умение работы с матрицами и определителями, уметь находить решение системы линейных уравнений по формулам Крамера, находить обратную матрицу (через алгебраические дополнения и методом элементарных преобразований), решать матричные уравнения. Студент должен уметь вычислять ранг матрицы, находить общее решение системы уравнений как сумму частного решения и фундаментальной системы решений, применять метод Гаусса решения системы линейных уравнений, исследовать систему векторов на линейную зависимость, находить разложения по базису в линейном пространстве, находить матрицу перехода от одного базиса в линейном пространстве к другому, находить собственные числа матрицы. Требования к проведению контрольной в дистанционном формате. КР проводится в письменной форме. На КР выделяется 80 минут и 10 минут на загрузку заданий. Работа проводится на платформе Smart LMS и Zoom или MS Teams. К занятию, на котором будет проводиться контрольная работа, необходимо подключиться за 15 минут до начала, по сигналу преподавателя приступить к решению заданий в Smart LMS. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, скоростной интернет, поддержка Zoom/MS Teams. Наушниками пользоваться нельзя. Ответы на задания записываются на белых листах А4, черной ручкой, листы нумеруются, при указании в задании ответы дополнительно вводятся в окно ответа. После окончания работы студент должен сфотографировать/отсканировать свое решение и загрузить в Smart LMS. Фотографии должны быть вертикальными, чтобы текст не был размыт и читался однозначно. Ответы и номера заданий нужно выделить. На протяжении работы камера и микрофон должны быть включены. Требуется расположить камеру сбоку или фронтально от себя таким образом, чтобы она была направлена на рабочее поле – лист, на котором выполняется работа, на студента и пространство вокруг студента (помещение должно быть хорошо освещено). Камера должна быть одна! (Разрешается использовать вход в Zoom / MS Teams с мобильного телефона с его камерой, если нет вебкамеры у компьютера). По требованию преподавателя студент обязан переключиться на трансляцию своего экрана: включить заднюю камеру мобильного телефона или повернуть в течение 5 секунд телефон к экрану компьютера, или запустить демонстрацию экрана. Выходить во время контрольной работы из комнаты нельзя. На столе можно иметь только письменные принадлежности, без пенала, чистые листы бумаги и воду. Наличие каких-либо носителей информации поблизости от рабочего места студента, а также других людей, считается нарушением и заканчивается удалением студента с работы и выставлением оценки «0». Во время контрольной работы студентам запрещено выключать камеру и микрофон: до окончания работы видео и звук должны оставаться активными, включая время на сканирование выполненной работы и отправку ее на проверку. Кратковременным нарушением связи во время контрольной работы считается нарушение связи менее 5 минут и не более одного раза. Долговременным нарушением связи во время контрольной работы считается нарушение от 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент может продолжить участие в написании работы по усмотрению преподавателя.
Контрольная работа 2
Контрольная работа проводится аудиторно, в письменной форме, 80 минут. В случае дистанционного формата обучения контрольная работа проводится дистанционно. В последнем случае она может состоять из двух частей – письменной (внеаудиторной) и устной (аудиторной, в том числе в онлайн формате). Студент должен уметь решать задачи аналитической геометрии на плоскости и в пространстве, раскладывать многочлены на множители, раскладывать рациональную дробь на сумму простейших. Выполнять действия с комплексными числами, приводить комплексное число к тригонометрическому виду. Извлекать корни из комплексного числа. В евклидовом пространстве проводить ортогонализацию базиса, применять метод ортогонализации Грама-Шмидта. Требования к проведению контрольной в дистанционном формате. КР проводится в письменной форме. На КР выделяется 80 минут и 10 минут на загрузку заданий. Работа проводится на платформе Smart LMS и Zoom или MS Teams. К занятию, на котором будет проводиться контрольная работа, необходимо подключиться за 15 минут до начала, по сигналу преподавателя приступить к решению заданий в Smart LMS. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, скоростной интернет, поддержка Zoom/MS Teams. Наушниками пользоваться нельзя. Ответы на задания записываются на белых листах А4, черной ручкой, листы нумеруются, при указании в задании ответы дополнительно вводятся в окно ответа. После окончания работы студент должен сфотографировать/отсканировать свое решение и загрузить в Smart LMS. Фотографии должны быть вертикальными, чтобы текст не был размыт и читался однозначно. Ответы и номера заданий нужно выделить. На протяжении работы камера и микрофон должны быть включены. Требуется расположить камеру сбоку или фронтально от себя таким образом, чтобы она была направлена на рабочее поле – лист, на котором выполняется работа, на студента и пространство вокруг студента (помещение должно быть хорошо освещено). Камера должна быть одна! (Разрешается использовать вход в Zoom / MS Teams с мобильного телефона с его камерой, если нет веб-камеры у компьютера). По требованию преподавателя студент обязан переключиться на трансляцию своего экрана: включить заднюю камеру мобильного телефона или повернуть в течение 5 секунд телефон к экрану компьютера, или запустить демонстрацию экрана. Выходить во время контрольной работы из комнаты нельзя. На столе можно иметь только письменные принадлежности, без пенала, чистые листы бумаги и воду. Наличие каких-либо носителей информации поблизости от рабочего места студента, а также других людей, считается нарушением и заканчивается удалением студента с работы и выставлением оценки «0». Во время контрольной работы студентам запрещено выключать камеру и микрофон: до окончания работы видео и звук должны оставаться активными, включая время на сканирование выполненной работы и отправку ее на проверку. Кратковременным нарушением связи во время контрольной работы считается нарушение связи менее 5 минут и не более одного раза. Долговременным нарушением связи во время контрольной работы считается нарушение от 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент может продолжить участие в написании работы по усмотрению преподавателя.
Контрольная работа 3
Контрольная работа проводится аудиторно, в письменной форме, 80 минут. В случае дистанционного формата обучения контрольная работа проводится дистанционно. В последнем случае она может состоять из двух частей – письменной (внеаудиторной) и устной (аудиторной, в том числе в онлайн формате). Студент должен находить проекцию вектора на подпространство, находить собственные числа оператора, находить матрицу линейного оператора в указанных базисах, приводить квадратичную форму к диагональному виду ортогональным преобразованием, исследовать ее на знакоопределенность. Приводить уравнения кривых второго порядка и поверхностей к каноническому виду и определять тип. Требования к проведению контрольной в дистанционном формате. КР проводится в письменной форме. На КР выделяется 80 минут и 10 минут на загрузку заданий. Работа проводится на платформе Smart LMS и Zoom или MS Teams. К занятию, на котором будет проводиться контрольная работа, необходимо подключиться за 15 минут до начала, по сигналу преподавателя приступить к решению заданий в Smart LMS. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, скоростной интернет, поддержка Zoom/MS Teams. Наушниками пользоваться нельзя. Ответы на задания записываются на белых листах А4, черной ручкой, листы нумеруются, при указании в задании ответы дополнительно вводятся в окно ответа. После окончания работы студент должен сфотографировать/отсканировать свое решение и загрузить в Smart LMS. Фотографии должны быть вертикальными, чтобы текст не был размыт и читался однозначно. Ответы и номера заданий нужно выделить. На протяжении работы камера и микрофон должны быть включены. Требуется расположить камеру сбоку или фронтально от себя таким образом, чтобы она была направлена на рабочее поле – лист, на котором выполняется работа, на студента и пространство вокруг студента (помещение должно быть хорошо освещено). Камера должна быть одна! (Разрешается использовать вход в Zoom / MS Teams с мобильного телефона с его камерой, если нет вебкамеры у компьютера). По требованию преподавателя студент обязан переключиться на трансляцию своего экрана: включить заднюю камеру мобильного телефона или повернуть в течение 5 секунд телефон к экрану компьютера, или запустить демонстрацию экрана. Выходить во время контрольной работы из комнаты нельзя. На столе можно иметь только письменные принадлежности, без пенала, чистые листы бумаги и воду. Наличие каких-либо носителей информации поблизости от рабочего места студента, а также других людей, считается нарушением и заканчивается удалением студента с работы и выставлением оценки «0». Во время контрольной работы студентам запрещено выключать камеру и микрофон: до окончания работы видео и звук должны оставаться активными, включая время на сканирование выполненной работы и отправку ее на проверку. Кратковременным нарушением связи во время контрольной работы считается нарушение связи менее 5 минут и не более одного раза. Долговременным нарушением связи во время контрольной работы считается нарушение от 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент может продолжить участие в написании работы по усмотрению преподавателя.
Самостоятельная работа
Преподаватель, ведущий семинары, оценивает самостоятельную работу студентов: оценивается выполнение домашних заданий и подготовка к семинарам. Контроль может проводиться в форме устных и письменных опросов по материалу домашних заданий, в результате которых студент может накопить 8 баллов (выставляется среднее арифметическое по опросам, округление - от 0,6). Оставшиеся два балла (до десяти баллов) студент может набрать, демонстрируя дополнительные знания, решение задач повышенной сложности по заданию преподавателя. Выставляется среднее арифметическое по опросам, округление - от 0,6. Для оценивания заданий применяются общие критерии оценивания, приведенные выше. Накопленная оценка по 10-балльной шкале за самостоятельную работу определяется перед итоговым контролем – Осам. работа
Экзамен
Экзамен проводится аудиторно, в письменной форме, 90 минут. В случае дистанционного формата обучения экзамен проводится дистанционно. В последнем случае она может состоять из двух частей – письменной (внеаудиторной) и устной (аудиторной, в том числе в онлайн формате). На экзамене студент должен показать знание теоретической части курса: знание формулировок теорем, свойств, определений, основные доказательства, уметь применять свойства и теоремы практически, уметь решать задачи. Требования к проведению экзамена в дистанционном формате. Экзамен проводится в письменной форме. На него выделяется 90 минут и 10 минут на загрузку заданий. Работа проводится на платформе Smart LMS и Zoom или MS Teams. К онлайн ресурсам необходимо подключиться за 15 минут до начала, по сигналу преподавателя приступить к решению заданий в Smart LMS. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, скоростной интернет, поддержка Zoom/MS Teams. Наушниками пользоваться нельзя. Ответы на задания записываются на белых листах А4, черной ручкой, листы нумеруются, при указании в задании ответы дополнительно вводятся в окно ответа. После окончания работы студент должен сфотографировать/отсканировать свое решение и загрузить в Smart LMS в формате PDF. Фотографии должны быть вертикальными, чтобы текст не был размыт и читался однозначно. Ответы и номера заданий нужно выделить. На протяжении работы камера и микрофон должны быть включены. Требуется расположить камеру сбоку или фронтально от себя таким образом, чтобы она была направлена на рабочее поле – лист, на котором выполняется работа, на студента и пространство вокруг студента (помещение должно быть хорошо освещено). Камера должна быть одна! (Разрешается использовать вход в Zoom / MS Teams с мобильного телефона с его камерой, если нет вебкамеры у компьютера). По требованию преподавателя студент обязан переключиться на трансляцию своего экрана: включить заднюю камеру мобильного телефона или повернуть в течение 5 секунд телефон к экрану компьютера, или запустить демонстрацию экрана. Выходить во время экзамена из комнаты нельзя. На столе можно иметь только письменные принадлежности, без пенала, чистые листы бумаги и воду. Наличие каких-либо носителей информации поблизости от рабочего места студента, а также других людей, считается нарушением и заканчивается удалением студента с работы и выставлением оценки «0». Во время экзамена студентам запрещено выключать камеру и микрофон: до окончания работы видео и звук должны оставаться активными, включая время на сканирование выполненной работы и отправку ее на проверку. Кратковременным нарушением связи во время контрольной работы считается нарушение связи менее 5 минут и не более одного раза. Долговременным нарушением связи во время контрольной работы считается нарушение от 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент может продолжить участие в написании работы по усмотрению преподавателя.

Промежуточная аттестация

2022/2023 учебный год 2 модуль
0.14 * Самостоятельная работа + 0.1 * Контрольная работа 1 + 0.15 * Контрольная работа 3 + 0.15 * Контрольная работа 2 + 0.46 * Экзамен

Список литературы

Авторы

Вагурина Ирина Вячеславовна

Bachelor’s Programme 'International Bachelor's in Business and Economics'

Contacts:

Linear Algebra

Instructors

Программа дисциплины