Foundations of Mathematical Research

2019/2020

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

3

ECTS credits

Author

Matveenko, S.

Delivered at:

Department of Mathematics

Course type:

Elective course

When:

1 year, 3 module

Программа дисциплины

Аннотация

Целями освоения дисциплины «Основы математических исследований» являются изучение метода вариации, решение вариационных задач и задач оптимального управления. Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих областей знания, для построения и исследования математических моделей таких задач. Дисциплина является модельным прикладным аппаратом для изучения студентами факультета Экономики математической компоненты своего профессионального образования.

Цель освоения дисциплины

• Целями освоения дисциплины «Основы математических исследований» являются изучение метода вариации, решение вариационных задач и задач оптимального управления.

Планируемые результаты обучения

• Демонстрирует знание теоремы о непрерывности линейного оператора, необходимых условий экстремума
• Знает основную лемму вариационного исчисления
• Умеет решать дифференциальные уравнения разрешенные относительно старшей производной
• Знает необходимые и достаточные условия экстремума интегрального функционала
• Знает необходимое условие оптимального управления
• Умеет решать вариационные задачи в физике и экономике

Содержание учебной дисциплины

• Элементы дифференциального исчисления в нормированных пространствах
  Нормированные пространства. Норма оператора. Теорема о непрерывности линейного оператора. Производные по Гато и Фреше функционала. Изопериметрическая задача. Необходимые условия экстремума. Второй дифференциал.
• Основная лемма вариационного исчисления и методы решения дифференциальных уравнений
  Лемма Дюбуа–Реймона. Основная лемма вариационного исчисления. Обыкновенные дифференциальные уравнения разрешенные относительно старшей производной: уравнения с разделяющимися переменными, уравнения, сводящиеся заменой переменной к уравнениям с разделяющимися переменными, линейные дифференциальные уравнения
• Интегральные функционалы. Исследование на экстремум интегрального функционала
  Гладкость интегрального функционала. Уравнение Эйлера для интегральных функционалов. Изопериметрическая задача для интегральных функционалов. Естественные граничные условия. Условие трансверсальности. Вторая вариация интегрального функционала: необходимые и достаточные условия экстремума
• Задачи оптимального управления
  Постановка задач оптимального управления. Допустимое управление. Принцип максимума Понтрягина : необходимое условие оптимального управления.
• Вариационные задачи в физике и экономике
  Задача о брахистохроне. Задача Дидоны. Задача о инвестиционных решениях по продаже.

Элементы контроля

• Контрольная работа
  Контрольная работа проводится в формате аудиторной письменной работы. Время на выполнение контрольной работы – 80 минут. Выдается студентам в двух вариантах и состоит из 4 задач. Каждой задаче присвоен свой балл.
• Экзамен
  Экзамен проводится в письменной форме с использованием синхронного внешнего прокторинга. Экзамен проводится на платформе https://hse.student.examus.net. К экзамену необходимо подключиться за 15 минут до начала. (На платформе Экзамус доступно тестирование системы.) Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: https://elearning.hse.ru/data/2020/05/07/1544135594/Технические%20требования%20к%20ПК%20студента.pdf Для участия в экзамене студент обязан: заранее зайти на платформу прокторинга, провести тест системы, включить камеру и микрофон, подтвердить личность. Задания будут разосланы с помощью системы «Экзамус». Во время экзамена студентам запрещено: пользоваться сторонними источниками информации, помощью иных людей. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи до 10 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи 10 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Студент выполняет экзаменационные задания в письменной форме, фотографирует решения с помощью любой доступной ему камеры и отправляет преподавателю по электронной почте. Студент должен следить за тем, чтобы сфотографированные им решения были читаемы. (Рекомендуется использовать камеру мобильного телефона или цифрового фотоаппарата; студент должен заранее проверить работоспособность этой камеры.) Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (3 модуль)
  0.3 * Контрольная работа + 0.7 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Кудрявцев Л.Д. - КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В 3 Т. ТОМ 2 В 2 КНИГАХ 6-е изд., пер. и доп. Учебник для бакалавров - М.:Издательство Юрайт - 2016 - 720с. - ISBN: 978-5-9916-6126-3 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/kurs-matematicheskogo-analiza-v-3-t-tom-2-v-2-knigah-387530

Рекомендуемая дополнительная литература

• Geering, H. P. (2007). Optimal Control with Engineering Applications. Berlin: Springer. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=197139