• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
02
Октябрь

Основы математических исследований

2019/2020
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
3
Кредиты
Статус:
Курс по выбору
Когда читается:
1-й курс, 3 модуль

Программа дисциплины

Аннотация

Целями освоения дисциплины «Основы математических исследований» являются изучение метода вариации, решение вариационных задач и задач оптимального управления. Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих областей знания, для построения и исследования математических моделей таких задач. Дисциплина является модельным прикладным аппаратом для изучения студентами факультета Экономики математической компоненты своего профессионального образования.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целями освоения дисциплины «Основы математических исследований» являются изучение метода вариации, решение вариационных задач и задач оптимального управления.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Демонстрирует знание теоремы о непрерывности линейного оператора, необходимых условий экстремума
  • Знает основную лемму вариационного исчисления
  • Умеет решать дифференциальные уравнения разрешенные относительно старшей производной
  • Знает необходимые и достаточные условия экстремума интегрального функционала
  • Знает необходимое условие оптимального управления
  • Умеет решать вариационные задачи в физике и экономике
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Элементы дифференциального исчисления в нормированных пространствах
    Нормированные пространства. Норма оператора. Теорема о непрерывности линейного оператора. Производные по Гато и Фреше функционала. Изопериметрическая задача. Необходимые условия экстремума. Второй дифференциал.
  • Основная лемма вариационного исчисления и методы решения дифференциальных уравнений
    Лемма Дюбуа–Реймона. Основная лемма вариационного исчисления. Обыкновенные дифференциальные уравнения разрешенные относительно старшей производной: уравнения с разделяющимися переменными, уравнения, сводящиеся заменой переменной к уравнениям с разделяющимися переменными, линейные дифференциальные уравнения
  • Интегральные функционалы. Исследование на экстремум интегрального функционала
    Гладкость интегрального функционала. Уравнение Эйлера для интегральных функционалов. Изопериметрическая задача для интегральных функционалов. Естественные граничные условия. Условие трансверсальности. Вторая вариация интегрального функционала: необходимые и достаточные условия экстремума
  • Задачи оптимального управления
    Постановка задач оптимального управления. Допустимое управление. Принцип максимума Понтрягина : необходимое условие оптимального управления.
  • Вариационные задачи в физике и экономике
    Задача о брахистохроне. Задача Дидоны. Задача о инвестиционных решениях по продаже.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Контрольная работа
    Контрольная работа проводится в формате аудиторной письменной работы. Время на выполнение контрольной работы – 80 минут. Выдается студентам в двух вариантах и состоит из 4 задач. Каждой задаче присвоен свой балл.
  • неблокирующий Экзамен
    Экзамен проводится в письменной форме с использованием синхронного внешнего прокторинга. Экзамен проводится на платформе https://hse.student.examus.net. К экзамену необходимо подключиться за 15 минут до начала. (На платформе Экзамус доступно тестирование системы.) Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: https://elearning.hse.ru/data/2020/05/07/1544135594/Технические%20требования%20к%20ПК%20студента.pdf Для участия в экзамене студент обязан: заранее зайти на платформу прокторинга, провести тест системы, включить камеру и микрофон, подтвердить личность. Задания будут разосланы с помощью системы «Экзамус». Во время экзамена студентам запрещено: пользоваться сторонними источниками информации, помощью иных людей. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи до 10 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи 10 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Студент выполняет экзаменационные задания в письменной форме, фотографирует решения с помощью любой доступной ему камеры и отправляет преподавателю по электронной почте. Студент должен следить за тем, чтобы сфотографированные им решения были читаемы. (Рекомендуется использовать камеру мобильного телефона или цифрового фотоаппарата; студент должен заранее проверить работоспособность этой камеры.) Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (3 модуль)
    0.3 * Контрольная работа + 0.7 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Кудрявцев Л.Д. - КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В 3 Т. ТОМ 2 В 2 КНИГАХ 6-е изд., пер. и доп. Учебник для бакалавров - М.:Издательство Юрайт - 2016 - 720с. - ISBN: 978-5-9916-6126-3 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/kurs-matematicheskogo-analiza-v-3-t-tom-2-v-2-knigah-387530

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Geering, H. P. (2007). Optimal Control with Engineering Applications. Berlin: Springer. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=197139