• A
  • A
  • A
  • ABC
  • ABC
  • ABC
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Regular version of the site

Algebra

2019/2020
Academic Year
RUS
Instruction in Russian
5
ECTS credits
Delivered at:
Department of Informatics
Course type:
Compulsory course
When:
1 year, 2 module

Instructors


Antipov, Mikhail


Афанасьева Софья Сергеевна


Лабутин Игорь Николаевич


Чепуркин Константин Михайлович

Программа дисциплины

Аннотация

Является дисциплиной базовой части профессионального цикла. Целью освоения дисциплины является ознакомление слушателей с основными структурами современной алгебры. В рамках курса слушатели изучают основы теории групп, а также кольца и поля. В результате освоения дисциплины студент должен знать: основные факты о таких алгебраических структурах, как группы, кольца и поля; освоить алгоритмические аспекты современной алгебры. Студент должен уметь: производить базовые вычисления с алгебраическими структурами, применять изученные факты и методы в прикладных задачах. Студент должен владеть:навыками работы с конечными группами и конечными полями, овладеть основными техническими приемами алгебры многочленов и теории абелевых групп.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • 1. Формирование у студентов теоретических знаний и практических навыков по основам теории чисел, теории колец, теории делимости, в частности, делимости целых чисел, делимости многочленов, а так же базовым применениям этих теорий для решения задач криптографии, построения кодов, исправляющих ошибки и других алгоритмических вопросах.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Уметь находить линейное разложение наибольшего общего делителя целых чисел и многочленов, находить явно класс обратного элемента в кольце вычетов по простому модулю, находить решения сравнений по составному модулю, владеть основными приёмами для проверки многочлена на неприводимость, иметь представление об алгоритмах разложения на множители.
  • Иметь навыки (приобрести опыт) обращения с основными алгебраическими объектами и конструкциями, уметь привести примеры таких объектов, знать основные идеи их практического применения.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Основы теории колец
    Понятие кольца, поля, целые числа, делимость для целых чисел, общая теория делимости, понятие идеала, факторизация кольца по идеалу, область главных идеалов, основная теорема арифметики для области главных идеалов, китайская теорема об остатках для области главных идеалов, кольцо многочленов над полем, как область главных идеалов, цикличность конечной подгруппы мультипликативной группы поля, тесты на простоту, криптосистема RSA Комплексные числа, тригонометрическая запись, корни из единицы, основная теорема алгебры(формулировка). Производная многочлена. Различные интерполяционные задачи для многочленов, дробно-рациональные функции, разложение дробно-рациональной функции в сумму простейших.
  • Многочлены от многих переменных
    Лемма Гаусса, факториальность кольца многочленов от многих переменных над полем, критерии неприводимости для многочленов от одной переменной, способы разложения целочисленного многочлена на неприводимые множители. Симметрические многочлены, элементарные симметрические многочлены, основная теорема о симметрических многочленах, результант и дискриминант.
  • Конечные поля и коды исправляющие ошибки. Базовые конструкции теории чисел
    Строение конечных полей, алгоритмы Берлекэмпа и Кантора-Цассенхауза, коды исправляющие ошибки, коды БЧХ. Базовые конструкции теории чисел. Арифметические функции. Производящие функции Дирихле. Свёртка Дирихле. Формула обращения Мёбиуса. Примеры использования.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашнее задание 1
  • неблокирующий Домашнее задание 2
  • неблокирующий Домашнее задание 3
  • неблокирующий Домашнее задание 4
  • неблокирующий Контрольная работа 1
  • неблокирующий Контрольная работа 2
  • блокирующий Устный экзамен
    Экзамен проводится в устной форме на платформе Zoom(https://zoom.us/). Студенты заранее распределяются по времени и случайным образом распределяются по экзаменаторам. О результате этого случайного распределения студент узнают по электронной почте. За час до начала своей сдачи студент получает экзаменационный билет по электронной почте. Билет содержит в себе два вопроса по теории и одну задачу. При подготовке к сдаче студент может использовать конспект лекций, конспект практических занятий и любые электронные ресурсы. Консультироваться при подготовке с другими людьми запрещено. В результате подготовки студент может оформить письменную версию ответа на вопросы билета и решение задачи из билета. Ответ должен быть записан на чистых листах от руки. Студенту запрещено помещать на указанные листы дополнительную информацию, не связанную с его вопросами и задачей: в частности, формулировки определений и утверждений, которые не нужны для ответа на вопросы билета и решения задачи. За пять минут до начала сдачи студент заходит в Zoom-канал экзамена, объявленный заранее всем студентам по почте. К компьютеру студента должна быть подключена веб-камера, микрофон, динамики. До начала сдачи студент должен включить свою камеру, микрофон, динамики, а так же отправить отсканированные или сфотографированные листы с письменным ответом своему экзаменатору. В начале сдачи студент переводится в сессионный зал Zoom со своим экзаменатором, подтверждает свою личность и показывает, на веб-камеру, что не имеет на столе ничего, кроме разрешённых материалов. После этого студент включает демонстрацию своего рабочего стола в Zoom и открывает на своём компьютере письменную версию решения. Во время устной сдачи студент отвечает свои вопросы, отвечает на дополнительные вопросы экзаменатра по всем частям курса, рассказывает решение задачи. Время, отведённое на ответ студента -- 40 минут. По истечении этого времени экзаменатор прекращает устную сдачу. Если к этому моменту студент ответил на оба вопроса билета, а так же на, по крайней мере, два дополнительных вопроса, но не ответил задачу, то экзаменатор может дать студенту ещё 20 минут времени на доделывание задачи в письменном виде. Своё решение студент высылает на почту экзаменатора. Итоговая оценка в этом случае ставится на основании устного ответа студента и высланного им решения задачи, если студент уложился в отведённые 20 минут. Во всех остальных случаях экзаменатор оценивает студента на основании устного ответа. Во время экзамена студентам запрещено: консультироваться с другими людьми, набирать на клавиатуре компьютера просьбы экзаменатора, обращаться к письменным и электронным источникам, кроме текста своего ответа. Во время экзамена студенты могут использовать чистую бумагу, ручку, мышку или иное указывающее устройство компьютера, который подключён к экзаменационному каналу. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается интервал в 5 мин. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается интервал более чем в 5 минут, при условии, что к этому моменту студент не ответил на все вопросы своего билета или не на все заданные дополнительные вопросы. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи. В случае перехода к очным занятиям пересдача проводится в очной форме без обращения к платформе Zoom.
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.08 * Домашнее задание 1 + 0.08 * Домашнее задание 2 + 0.08 * Домашнее задание 3 + 0.08 * Домашнее задание 4 + 0.09 * Контрольная работа 1 + 0.09 * Контрольная работа 2 + 0.5 * Устный экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Бурмистрова Е. Б., Лобанов С. Г.-ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебник и практикум для академического бакалавриата-М.:Издательство Юрайт,2019-421-Бакалавр. Академический курс-978-5-9916-3588-2: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/lineynaya-algebra-425852

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Кнауб, Л. В. Теоретико-численные методы в криптографии [Электронный ресурс] : Учеб. пособие / Л. В. Кнауб, Е. А. Новиков, Ю. А. Шитов. - Красноярск : Сибирский федеральный университет, 2011. - 160 с. - ISBN 978-5-7638-2113-7.