Математическое моделирование в физике

2026/2027

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

4

Кредиты

Кто читает:

Департамент физики

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

4-й курс, 3 модуль

Программа дисциплины

Аннотация

Курс "Математическое моделирование в физике" предназначен для студентов 4-го курса бакалавриата, специализирующихся в области физики. Курс обеспечивает прочную основу для объединения абстрактных теоретических принципов и выполнения практических вычислений. Данная углубленная учебная программа направлена на преобразование сложных физических явлений в формальные математические структуры и прогнозирующие модели. Студенты изучают широкий спектр методологий, сочетая аналитические выводы с современным численным моделированием. В ходе обучения особое внимание уделяется разработке алгоритмов, оптимизации моделей и анализу ошибок, что позволяет тщательно подготовить выпускников к современным научным исследованиям, промышленному проектированию и количественному анализу данных.

Цель освоения дисциплины

• Применять аппарат численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений – явные методы Эйлера, Leap-Frog, простейшие симплектические и несимплектические схемы – для расчёта физических систем.
• Применять аппарат численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений – явные методы Эйлера, Leap-Frog, простейшие симплектические и несимплектические схемы – для расчёта физических систем. 2. Конструировать явные конечно-разностные схемы, аппроксимирующие одномерные параболические и гиперболические уравнения в частных производных, и аргументировать выбор шагов интегрирования с опорой на критерий устойчивости Куранта.
• Анализировать сходимость и устойчивость разностных схем в многомерном случае, формулировать ограничения на сеточные параметры и проверять их в вычислительном эксперименте.
• Интерпретировать результаты численного моделирования в терминах исходных физических моделей и взвешивать альтернативные численные подходы при возникновении неустойчивостей или потери точности.

Планируемые результаты обучения

• Формулирует идею аппроксимации производных конечными разностями и записывает явные разностные шаблоны для одномерного уравнения теплопроводности и волнового уравнения.
• Рассчитывает траектории механических систем с помощью явного метода Эйлера, схемы Leap‑Frog и простейшего симплектического интегратора; сравнивает точность и вычислительную устойчивость полученных решений.
• Конструирует явные разностные схемы для одномерных параболического и гиперболического уравнений с непостоянными коэффициентами; аргументирует выбор шага по времени на основе критерия Куранта.
• Выявляет численную неустойчивость при нарушении критерия Куранта; проверяет сходимость схемы сравнением с точным решением.
• Оценивает пригодность симплектической и несимплектической схемы для долговременного прогноза консервативной системы по сохранению полной энергии и фазового объёма.
• Разрабатывает явную разностную схему для произвольного многомерного нестационарного уравнения в частных производных с непостоянными коэффициентами, выводит явное условие устойчивости и подтверждает его вычислительным экспериментом.

Содержание учебной дисциплины

• Раздел 1. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений
• Раздел 2. Метод конечных разностей для одномерных нестационарных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами
• Раздел 3. Одномерные нестационарные уравнения в частных производных с непостоянными коэффициентами
• Раздел 4. Многомерные нестационарные уравнения в частных производных

Элементы контроля

• Контрольная работа "Численное интегрирование ОДУ"
  Контрольное мероприятие представляет собой домашнюю контрольную работу по теме "Численное интегрирование ОДУ"
• Контрольная работа "Устойчивость явных схем МКР для одномерных уравнений".
• Контрольная работа "Разностные схемы для одномерных ДУЧП."
• Экзамен
  Экзамен состоит из двух частей – теоретической и практической. Экзамен проверяет комплексное владение материалом всех разделов и способность переносить методы на новые, не разбиравшиеся детально в течение модуля задачи. Каждый раздел экзамена оценивается отдельно.

Промежуточная аттестация

• 2026/2027 3rd module
  0.4 * Экзамен + 0.2 * Контрольная работа "Разностные схемы для одномерных ДУЧП." + 0.2 * Контрольная работа "Численное интегрирование ОДУ" + 0.2 * Контрольная работа "Устойчивость явных схем МКР для одномерных уравнений".

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Рейзлин, В. И.  Математическое моделирование : учебник для вузов / В. И. Рейзлин. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2025. — 126 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-08475-7. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/561369 (дата обращения: 02.07.2026).
• Самарский, А. А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры : монография / А. А. Самарский, А. П. Михайлов. — 2-е изд. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 320 с. — ISBN 5-9221-0120-X. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/59285 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
• Численные методы: учебное пособие. — 2-е изд., исправленное. - 978-5-9775-2575-6 - Калиткин Н. - 2015 - Санкт-Петербург: БХВ-Петербург - https://ibooks.ru/products/22662 - 22662 - iBOOKS

Рекомендуемая дополнительная литература

• Зализняк, В. Е.  Математическое моделирование : учебник для вузов / В. Е. Зализняк, О. А. Золотов. — Москва : Издательство Юрайт, 2026. — 125 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-20525-1. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/587694 (дата обращения: 02.07.2026).
• Основы численных методов : учебник для вузов, Вержбицкий, В. М., 2005
• Численные методы: линейная алгебра и нелинейные уравнения : учеб. пособие для вузов, Вержбицкий, В. М., 2000

Авторы

• Павлов Дмитрий Александрович
• Журихина Валентина Владимировна