• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
02
Октябрь

Алгебра и анализ: вводный курс (базовый уровень)

2021/2022
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
3
Кредиты
Статус:
Курс по выбору
Когда читается:
1-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватели

Программа дисциплины

Аннотация

Целью освоения дисциплины «Алгебра и анализ: вводный курс(базовый уровень)» является изучение разделов «Множества и отображения», «Векторы », «Прямая линия на плоскости и в пространстве. Плоскость в пространстве», «Комплексные числа» и «Полиномы и рациональные дроби», позволяющие студенту ориентироваться в таких дисциплинах, как «Линейная алгебра», «Математический анализ–I», «Математический анализ–II», «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Эконометрика». Курс «Алгебра и анализ: вводный курс (базовый уровень)» будет использоваться в теории и приложениях дисциплин экономического цикла. Материалы курса могут быть использованы для построения и исследования математических моделей в различных предметных областях, в первую очередь в экономике.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • изучение разделов «Множества и отображения», «Векторы », «Прямая линия на плоскости и в пространстве. Плоскость в пространстве», «Комплексные числа» и «Полиномы и рациональные дроби», позволяющие студенту ориентироваться в таких дисциплинах, как «Линейная алгебра», «Математический анализ–I», «Математический анализ–II», «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Эконометрика»
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Умеет находить область определения, множество значений функции, исследовать функцию на монотонность, чётность/нечетность, периодичность.
  • Знает основные элементарные функции, умеет строить графики элементарных функций с помощью основных преобразований на плоскости.
  • Знает свойства модуля, решает уравнения и неравенства с применением свойств модуля.
  • Выполняет операции над множествами (в том числе используя графическое изображение множеств на плоскости).
  • Строит композицию отображений, обратное отображение, определяет свойства отображения.
  • Умеет применять основные операции над векторами к решению практических и геометрических задач (в том числе используя теорему о делении отрезка в заданном отношении).
  • Решает примеры на применение скалярного, векторного и смешанного произведений для нахождения углов между векторами, площадей треугольника и параллелограмма и объемов параллелепипеда и тетраэдра.
  • Знает свойства скалярного, векторного, смешанного произведений.
  • Находит элементы геометрических фигур (стороны, углы, высоты и т.д.).
  • Знает условия коллинеарности, ортогональности и компланарности векторов.
  • Демонстрирует знание концепции уравнения прямой линии на плоскости, умение составить уравнение прямой, построить график прямой линии, применять условия взаимного расположения прямых на плоскости в решении геометрических и экономических задач
  • Составляет уравнение прямой на плоскости (каноническое, общее, в отрезках, параметрическое уравнение, уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках, уравнение по двум точкам), умеет переходить от одной формы уравнения к другой.
  • Анализирует взаимное расположение прямых на плоскости, находит углы между прямыми, точку пересечения прямых, вычисляет расстояния: от точки до прямой, между параллельными прямыми. Используя взаимное расположение прямых, строит уравнение прямой, проходящей параллельно / перпендикулярно / под углом к заданной прямой / к оси координат через фиксированную точку.
  • Составляет уравнение плоскости в пространстве (по точке и нормальному вектору, по трём точкам, по точке и двум коллинеарным векторам), уравнение прямой в пространстве (канонические уравнения; параметрические уравнения; прямая, как пересечение плоскостей).
  • Определяет взаимное расположение двух прямых в пространстве, находит угол между прямыми, знает условие перпендикулярности и параллельности. Анализирует взаимное расположение прямой и плоскости, вычисляет угол между прямой и плоскостью, знает условия перпендикулярности и параллельности, находит точки пересечения прямой и плоскости, двух прямых.
  • Вычисляет расстояния между объектами в пространстве (от точки до прямой, от точки до плоскости, между прямыми, между плоскостями, от прямой до плоскости).
  • Умеет работать с комплексными числами в произвольной форме записи (алгебраическая, тригонометрическая, показательная), решает уравнения и неравенства с комплексными числами и интерпретирует результаты геометрически.
  • Производит арифметические операции с комплексными числами, возводит в степень и извлекает корень, интерпретирует результаты геометрически.
  • Умеет применять теоремы Безу, Декарта к конкретным многочленам, раскладывать многочлены на множители с использованием теоремы о рациональных корнях многочлена.
  • Демонстрирует умение представлять правильную рациональную дробь в сумму простейших дробей.
  • Выделяет целую часть из рациональной дроби.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Множества и отображения
    Множества и подмножества. Пустое множество. Множество всех подмножеств множества. Задание множеств. Операции над множествами. Декартово произведение множеств. Взаимно однозначное соответствие. Эквивалентные множества, счетные и несчетные множества. Примеры. Множество вещественных чисел. Расширенная числовая ось. Аксиоматика вещественных чисел. Подмножества множества вещественных чисел. Графическое изображение множеств на плоскости. Отображение. Область определения и область значений. Числовая функция: график числовой функции, монотонность, периодичность, чётные и нечётные функции. Арифметические операции над числовыми функциями. Наибольшее и наименьшее значение монотонной функции. Элементарные функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Преобразования графиков элементарных функций на плоскости (сдвиги по осям, масштабные преобразования, отражения). Обратное отображение, его свойство. Композиция отображений. Свойства композиции. Инъективное, сюръективное и биективное отображения. Примеры числовых функций, задающих сюръективное, инъективное и биективное отображения.
  • Векторы в R^n
    Геометрические векторы – повторение: определение, правила сложения треугольника и параллелограмма, правило многоугольника. Арифметические векторы. Линейные операции. Координаты вектора. Линейная зависимость и линейная независимость векторов в R^n . Скалярное произведение векторов в R^n и его свойства. Угол между векторами. Проекция вектора на ось и на направление. Свойства проекций. Условие коллинеарности и ортогональности векторов. Деление отрезка в заданном отношении. Векторное произведение: свойства, вычисление, геометрический смысл. Смешанное произведение: свойства, вычисление, геометрический смысл. Двойное векторное произведение: свойства. Приложение: вычисление площади параллелограмма и объёма параллелепипеда
  • Прямая линия на плоскости и в пространстве. Плоскость в пространстве
    Уравнение линии на плоскости и в пространстве: прямая. Уравнение поверхности в пространстве: плоскость. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору, уравнение по точке и направляющему вектору, каноническое, общее, параметрическое уравнение, уравнение с угловым коэффициентом, уравнение по двум точкам. Взаимное расположение двух прямых на плоскости: угол между прямыми, условие ортогональности и параллельности. Уравнение плоскости в пространстве: по точке и нормальному вектору, по трём точкам. Уравнение прямой в пространстве: каноническое уравнение, параметрическое уравнение. Взаимное расположение плоскостей. Прямая, как пересечение плоскостей. Взаимное расположение двух прямых в пространстве: угол между прямыми, условие ортогональности и параллельности. Взаимное расположение прямой и плоскости: угол между прямой и плоскостью, условие ортогональности и параллельности. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между прямыми. Расстояние между плоскостями. Применение к решению геометрических задач.
  • Комплексные числа
    Определение, арифметические операции и их свойства. Модуль, комплексное сопряжение. Алгебраическая форма записи. Геометрическая интерпретация. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Показательная форма записи комплексного числа. Формулы Эйлера. Возведение в натуральную степень. Формулы Муавра. Извлечение корня n-й степени из комплексного числа. Уравнения и неравенства с комплексными числами и их геометрическая интерпретация.
  • Полиномы и рациональные дроби
    Степень полинома. Операции над полиномами – сложение, умножение. Бином Ньютона. Корень полинома. Делимость полиномов. Неприводимый полином. Теорема Безу. Теорема Декарта. Теорема Виета. Разложение полиномов на множители. Основная теорема высшей алгебры (теорема Гаусса). Теорема о полиноме с целыми коэффициентами. Деление полиномов с остатком. Схема Горнера. Теорема о каноническом разложении полинома. Кратные корни полинома. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей. Случай простых вещественных корней знаменателя дроби.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Индивидуальное домашнее задание 1
    Индивидуальное домашнее задание 1 состоит из задач по теме "Множества и отображения". На выполнение задания дается три дня. При необходимости, выполненная работа сканируется и прикрепляется в SmartLMS. Основной формат сдачи ДЗ — письменно, одновременно может использоваться устный формат сдачи для контроля письменной части. Требования к устной части доводятся до сведения студентов вместе с вариантами ИДЗ посредством корпоративных средств связи.
  • неблокирующий Индивидуальное домашнее задание 2
    Индивидуальное домашнее задание 2 состоит из задач по темам "Комплексные числа" и "Многочлены и рациональные дроби". На выполнение задания дается три дня. При необходимости, выполненная работа сканируется и прикрепляется в SmartLMS. Основной формат сдачи ДЗ — письменно, одновременно может использоваться устный формат сдачи для контроля письменной части. Требования к устной части доводятся до сведения студентов вместе с вариантами ИДЗ посредством корпоративных средств связи.
  • неблокирующий Письменный опрос по теме "Множества и отображения"
    Опрос проводится письменно, в классе, после выполнения ИДЗ1. Время выполнения - 30 минут. Может также использоваться устный формат сдачи для контроля письменной части. Требования к устной части доводятся до сведения студентов за неделю до проведения посредством корпоративных средств связи.
  • неблокирующий Контрольная работа по теме «Векторная алгебра и аналитическая геометрия»
    Основной формат сдачи работы — письменно, одновременно может использоваться устный формат сдачи для контроля письменной части. Требования к устной части доводятся до сведения студентов за неделю до проведения посредством корпоративных средств связи. Длительность работы - 80 минут. В дистанционном формате (если применяется) на КР выделяется 80 минут и 10 минут организационные. Работа проводится на платформе Smart LMS с дополнительным использованием платформ Zoom или MS Teams . К занятию, на котором будет проводиться контрольная работа, необходимо подключиться за 15 минут до начала, по сигналу преподавателя приступить к решению заданий в Smart LMS. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, скоростной интернет, поддержка Zoom/MS Teams. Ответы на задания записываются на белых листах А4, черной ручкой, листы нумеруются, при указании в задании ответы дополнительно вводятся в окно ответа. После окончания работы студент должен сфотографировать/отсканировать свое решение и загрузить в Smart LMS. Фотографии должны быть вертикальными, чтобы текст не был размыт и читался однозначно. Ответы и номера заданий нужно выделить . На протяжении работы камера и микрофон должны быть включены. Требуется расположить камеру сбоку или фронтально от себя таким образом, чтобы она была направлена на рабочее поле – лист, на котором выполняется работа, на студента и пространство вокруг студента (помещение должно быть хорошо освещено). Разрешается использовать вход в Zoom / MS Teams с мобильного телефона с его камерой. По требованию преподавателя студент обязан переключиться на трансляцию своего экрана: включить заднюю камеру мобильного телефона или повернуть в течение 5 секунд телефон к экрану компьютера, или запустить демонстрацию экрана. Выходить во время контрольной работы из комнаты нельзя. На столе можно иметь только письменные принадлежности, без пенала, чистые листы бумаги и воду. Наличие каких-либо носителей информации поблизости от рабочего места студента, а также других людей, считается нарушением и заканчивается удалением студента с работы и выставлением оценки «0». Во время контрольной работы студентам запрещено выключать камеру и микрофон: до окончания работы видео и звук должны оставаться активными, включая время на сканирование выполненной работы и отправку ее на проверку. Кратковременным нарушением связи во время контрольной работы считается нарушение связи менее 2 минут и не более одного раза. Долговременным нарушением связи во время контрольной работы считается нарушение от 2 минут и более. При долговременном нарушении связи студент может продолжить участие в написании работы по усмотрению преподавателя.
  • неблокирующий Экзамен
    Экзамен может состоять из двух частей. Часть 1 - письменная работа. Часть 2 - устная часть. В этом случае инструкции к проведению экзамена будут выданы за 2 недели до экзамена.
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.1 * Индивидуальное домашнее задание 1 + 0.1 * Индивидуальное домашнее задание 2 + 0.24 * Контрольная работа по теме «Векторная алгебра и аналитическая геометрия» + 0.12 * Письменный опрос по теме "Множества и отображения" + 0.44 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Ч. 1 4-е изд., пер. и доп. Учебник для бакалавров - М.:Издательство Юрайт - 2016 - 660с. - ISBN: 978-5-9916-2733-7 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/matematicheskiy-analiz-ch-1-389342

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Путко Б.А., Тришин И.М., Кремер Н.Ш. - под ред. - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В 2 Т. Учебник и практикум для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2016 - 634с. - ISBN: 978-5-9916-6238-3 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/matematicheskiy-analiz-v-2-t-388079