• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Динамические системы в экономике

2021/2022
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
3
Кредиты
Статус:
Курс по выбору
Когда читается:
2-й курс, 3 модуль

Программа дисциплины

Аннотация

Целью освоения дисциплины «Динамические системы в экономике» является получение новых и расширение уже имеющихся знаний по разделу «Дифференциальные и разностные уравнения и их системы», а также их модельным приложениям в экономике, что позволит сформировать теоретический и модельный прикладной аппарат для дальнейшего его применения студентами-экономистами в учебном процессе и научно-исследовательской деятельности. Материалы курса могут быть использованы для решения конкретных задач на базе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и их систем, а также разностных уравнений с помощью аналитических и численных методов, для построения и исследования математических моделей динамики процессов в различных предметных областях, в первую очередь в экономике.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целью освоения дисциплины «Динамические системы в экономике» является получение новых и расширение уже имеющихся знаний по разделу «Дифференциальные и разностные уравнения и их системы», а также их модельным приложениям в экономике, что позволит сформировать теоретический и модельный прикладной аппарат для дальнейшего его применения студентами-экономистами в учебном процессе и научно-исследовательской деятельности.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • демонстрирует знание основных понятий теории динамических систем, распознает типы систем ОДУ
  • распознает типы систем ОДУ; умеет решать линейные ОДУ с постоянными коэффициентами, применяет метод собственных чисел и собственных векторов, метод неопределенных коэффициентов, метод матричной экспоненты
  • демонстрирует знание понятия фазового пространства и точек равновесия динамических систем, классифицирует стационарные точки
  • демонстрирует знание основных понятий теории устойчивости, устойчивости по первому приближению
  • демонстрирует знание общего и частного решения систем ОДУ и разностных уравнений, умеет решать системы ОДУ и разностных уравнений
  • демонстрирует знание моделей конкуренции, моделей банковских вкладов, дискретных и непрерывных моделей: модель Солоу, модель Рамсея и др.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Введение
    Основные понятия теории динамических систем. Понятие о системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), ее решениях, фундаментальная система решений. Типы систем ОДУ. Понятие о динамической системе. Примеры динамических моделей из экономики.
  • Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
    Системы линейных ОДУ с постоянными коэффициентами. Нормальная система уравнений n-го порядка, её решение, графическое представление решения. Фундаментальная матрица. Структура множества решений. Принцип суперпозиции. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Особые решения. Огибающая семейства кривых. Метод собственных чисел и собственных векторов. Метод неопределенных коэффициентов. Метод вариации произвольной постоянной. Метод матричной экспоненты
  • Качественные методы исследования решений систем ОДУ
    Фазовое пространство, точки равновесия динамических систем. Автономные системы ОДУ. Фазовые траектории (портреты) и интегральные кривые автономной системы ОДУ. Классификация стационарных точек для линейных автономных систем ОДУ (2D). Анализ поведения динамических систем в фазовом пространстве.
  • Общие вопросы теории устойчивости решений систем ОДУ. Первые интегралы
    Основные понятия теории устойчивости. Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Устойчивость по первому приближению. Системы первого приближения. Первые интегралы. Функции Ляпунова.
  • Разностные уравнения.
    Разностные уравнение n-го порядка в нормальной форме, понятие об общем и частном решениях. Модель Фибоначчи. Линейное однородное разностное уравнение n-го порядка и пространство его решений. Построение фундаментальной системы решений линейного разностного уравнения с постоянными вещественными коэффициентами. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения. Линейная однородная система разностных уравнений. Построение фундаментальной системы решений линейной однородной системы разностных уравнений с постоянными вещественными коэффициентами. Структура общего решения неоднородной системы линейных разностных уравнений. Системы разностных уравнений.
  • Приложения систем ОДУ и разностных уравнений в экономике и других областях.
    Модели конкуренции (на базе модели Лотки-Вольтерра), обобщенная модель Басса. Модели банковских вкладов, паутинообразные модели рынка, динамика дохода в модели Кейнса, динамика эпидемии, модель делового цикла, модель Солоу, модель Рамсея и др.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Контрольная работа 1
    Проводится в письменном формате (онлайн формат) и/или может состоять из двух частей – письменной (внеаудиторной) и устной (аудиторной, в том числе в онлайн формате).
  • неблокирующий Контрольная работа 2
    Проводится в письменном формате (онлайн формат) и/или может состоять из двух частей – письменной (внеаудиторной) и устной (аудиторной, в том числе в онлайн формате).
  • неблокирующий Домашнее задание 1
    Домашнее задание (ЛИСТОК) является тематическим содержит до 5 заданий в зависимости от темы и выдается студентам в индивидуальном варианте. Каждой задаче присвоен свой балл в виде points (по 100-балльной шкале). Срок выполнения домашнего задания – 5-7 дней. Для получения полного балла (10) достаточно набрать 96 points. Получить оценку больше 10 баллов невозможно. Шкала перевода оценок в 10-балльную систему прилагается. Форма представления обучающимися домашнего задания - представленные в письменном виде решения задач, оформленные в виде аккуратно набранного текста в Word или LaTeX c компиляцией в формат PDF, с подробными пояснениями, графиками (если необходимо), формулами, ссылками на теоретические положения (определения, теоремы). Листок должен быть сдан в письменном виде (скан по электронным системам связи – email дисциплины или SmartLMS, и устно обязательно. Листки без устной сдачи не засчитываются. Возможен групповой формат (по 2 человека) выполнения листка (сообщается преподавателем заранее), в этом случае оценка за листок формируется индивидуально по результатам устной сдачи.
  • неблокирующий Домашнее задание 2
    Домашнее задание (ЛИСТОК) является тематическим содержит до 5 заданий в зависимости от темы и выдается студентам в индивидуальном варианте. Каждой задаче присвоен свой балл в виде points (по 100-балльной шкале). Срок выполнения домашнего задания – 5-7 дней. Для получения полного балла (10) достаточно набрать 96 points. Получить оценку больше 10 баллов невозможно. Шкала перевода оценок в 10-балльную систему прилагается. Форма представления обучающимися домашнего задания - представленные в письменном виде решения задач, оформленные в виде аккуратно набранного текста в Word или LaTeX c компиляцией в формат PDF, с подробными пояснениями, графиками (если необходимо), формулами, ссылками на теоретические положения (определения, теоремы). Листок должен быть сдан в письменном виде (скан по электронным системам связи – email дисциплины или SmartLMS, и устно обязательно. Листки без устной сдачи не засчитываются. Возможен групповой формат (по 2 человека) выполнения листка (сообщается преподавателем заранее), в этом случае оценка за листок формируется индивидуально по результатам устной сдачи.
  • неблокирующий Домашнее задание 3
    Домашнее задание (ЛИСТОК) является тематическим содержит до 5 заданий в зависимости от темы и выдается студентам в индивидуальном варианте. Каждой задаче присвоен свой балл в виде points (по 100-балльной шкале). Срок выполнения домашнего задания – 5-7 дней. Для получения полного балла (10) достаточно набрать 96 points. Получить оценку больше 10 баллов невозможно. Шкала перевода оценок в 10-балльную систему прилагается. Форма представления обучающимися домашнего задания - представленные в письменном виде решения задач, оформленные в виде аккуратно набранного текста в Word или LaTeX c компиляцией в формат PDF, с подробными пояснениями, графиками (если необходимо), формулами, ссылками на теоретические положения (определения, теоремы). Листок должен быть сдан в письменном виде (скан по электронным системам связи – email дисциплины или SmartLMS, и устно обязательно. Листки без устной сдачи не засчитываются. Возможен групповой формат (по 2 человека) выполнения листка (сообщается преподавателем заранее), в этом случае оценка за листок формируется индивидуально по результатам устной сдачи.
  • неблокирующий Самостоятельная работа (мини-ДЗ)
    Регулярные домашние работы по семинарам, выполняемые в течение установленного периода – 6 дней (к следующему семинару).
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (3 модуль)
    0.12 * Домашнее задание 1 + 0.12 * Домашнее задание 2 + 0.12 * Домашнее задание 3 + 0.29 * Контрольная работа 1 + 0.29 * Контрольная работа 2 + 0.06 * Самостоятельная работа (мини-ДЗ)
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Gerhard Kristensson. (2010). Second Order Differential Equations : Special Functions and Their Classification (Vol. 2010). Springer.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. - ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3 Т. Т.3 В 2 КНИГАХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. РЯДЫ. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 7-е изд. Учебник для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2016 - 507с. - ISBN: 978-5-9916-6340-3 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/vysshaya-matematika-v-3-t-t-3-v-2-knigah-differencialnye-uravneniya-kratnye-integraly-ryady-funkcii-kompleksnogo-peremennogo-388890

Рекомендуемая дополнительная литература

  • David F. Griffiths, & Desmond J. Higham. (2010). Numerical Methods for Ordinary Differential Equations : Initial Value Problems (Vol. 2010). Springer.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. - ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3 Т. Т.1 В 2 КНИГАХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 7-е изд. Учебник для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2016 - 508с. - ISBN: 978-5-9916-6251-2 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/vysshaya-matematika-v-3-t-t-1-v-2-knigah-differencialnoe-i-integralnoe-ischislenie-388586