• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Линейная алгебра

2019/2020
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
6
Кредиты
Статус:
Курс обязательный
Когда читается:
1-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватели


Востоков Сергей Владимирович


Кумачева Сурия Шакировна

Программа дисциплины

Аннотация

Целями освоения дисциплины «Линейная алгебра» являются изучение разделов матричной алгебры, решение систем линейных уравнений и векторного анализа, позволяющие студенту ориентироваться в таких дисциплинах, как «Теория вероятностей и математическая статистика», «Методы оптимальных решений», «Математические модели в экономике». Курс "Линейная алгебра" будет использоваться в теории и приложениях многомерного математического анализа, дифференциальных уравнений, математической экономики, эконометрики. Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих областей знания, для построения и исследования математических моделей таких задач. Дисциплина является модельным прикладным аппаратом для изучения студентами факультета Экономики математической компоненты своего профессионального образования.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целями освоения дисциплины «Линейная алгебра» являются изучение разделов матричной алгебры, решение систем линейных уравнений и векторного анализа, позволяющие студенту ориентироваться в таких дисциплинах, как «Теория вероятностей и математическая статистика», «Методы оптимальных решений», «Математические модели в экономике». Курс «Линейная алгебра» будет использоваться в теории и приложениях многомерного математического анализа, дифференциальных уравнений, математической экономики, эконометрики. Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих областей знания, для построения и исследования математических моделей таких задач. Дисциплина является модельным прикладным аппаратом для изучения студентами направления «Экономика» математической компоненты своего профессионального образования.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Определяет простейшие алгебраические структуры; выполняет действия с матрицами; находит матрицы с заданными свойствами
  • Вычисляет определитель; верно пользуется свойствами определителя; решает матричные уравнения, находит обратную матрицу; исследует СЛАУ с помощью формул Крамера
  • Находит базис пространства / подпространства; определяет координаты элементов пространства относительно фиксированного базиса; находит разложения элементов пространства относительно произвольной системы векторов; строит матрицу перехода при изменении базиса
  • Верно и эффективно проводит элементарные преобразования матриц; приводит матрицу к ступенчатому виду; определяет ранг матрицы
  • Решает СЛАУ методом Гаусса; верно использует теоремы Кронекера-Капелли; анализирует структуру множества решений СЛАУ
  • Вычисляет площадь треугольника и параллелограмма; находит углы между векторами и прямыми, расстояния между заданными объектами; записывает уравнение плоскости и прямой в пространстве
  • Находит матрицу линейного оператора относительно фиксированного базиса и при замене базиса; находит собственные числа и векторы линейного оператора
  • Определяет ортогональность векторов; строит ортогональную проекцию на подпространство
  • Анализирует знакоопределенность квадратичной формы с помощью критерия Сильвестра; приводит квадратичную форму к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования; определяет тип поверхности второго порядка
  • Записывает жорданову форму матрицы
  • Оценивает норму оператора
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Матрицы и системы линейных уравнений
    Простейшие алгебраические структуры. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений. Операции с матрицами (сумма матриц, умножение матрицы на число, произведение матриц). Свойства арифметических операций над матрицами. Матричная запись системы уравнений.
  • Определитель
    Перестановки. Инверсии, четность перестановки. Определитель и элементарные преобразования. Построение определителя разложением по столбцу. Определитель транспонированной матрицы. Вычисление определителя разложением по строке. Обратная и взаимная матрицы. Формулы Крамера. Построение обратной матрицы элементарными преобразованиями. Определитель произведения матриц.
  • Линейные пространства
    Простейшие следствия аксиом линейного пространства. Подпространство линейного пространства. Свойства линейно зависимых векторов. Базис и размерность линейного пространства. Существование базиса конечномерного пространства.
  • Линейные операторы
    Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Матрица композиции линейных операторов. Линейные функционалы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Характеристический многочлен линейного оператора. О корнях характеристического многочлена линейного оператора. Теорема Перрона.
  • Ранг матрицы
    Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц. Обратимость элементарных преобразований. Приведение матриц к ступенчатому виду элементарными преобразованиями. Неизменность ранга при элементарных преобразованиях. Ранг ступенчатой матрицы. Теорема о ранге матрицы. Критерий линейной независимости системы строк (столбцов). Ранг произведения матриц.
  • Структура множества решений системы линейных уравнений
    Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных уравнений. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений со ступенчатой матрицей системы. Общее решение систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Структура множества решений системы линейных уравнений. Альтернативы Фредгольма.
  • Элементы аналитической геометрии
    Прямоугольная система координат на плоскости. Расстояние между точками. Векторы и операции с ними. Разложение вектора плоскости по двум неколлинеарным векторам. Скалярное произведение векторов. Общее уравнение прямой на плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой. Преобразование координат точки при замене системы координат. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов. Общее уравнение плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых. Нахождение расстояния между прямой и параллельной к ней плоскостью и между двумя прямыми.
  • Евклидовы пространства
    Скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника. Длина вектора и угол между векторами. Ортогональность векторов. Независимость попарно ор¬тогональных векторов. Ортогональная проекция вектора на подпространство. Построение орто¬нормированного базиса ортогонализацией произвольного базиса. Ортогональные матрицы и их свойства. Геометрическая интерпретация ортогональных матриц.
  • Симметричные матрицы и квадратичные формы
    Квадратичные формы. Симметричная матрица, порождающая квадратичную форму. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Сопряженность операторов в евклидовом пространстве. Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. Симметричные матрицы и самосопряженные операторы в евклидовом пространстве. Ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного оператора. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Классификация кривых и поверхностей второго порядка.
  • Жорданова форма матрицы
    Жорданова клетка. Присоединенные векторы. Каноническая жорданова форма матрицы. Алгоритм вычисления размерности клеток и построения ортогонального преобразования. Функции от матрицы. Примеры и приложения.
  • Норма линейного оператора
    Норма линейного оператора. Ее простейшие свойства (норма линейной комбинации оператора, норма композиции оператора). Оценка нормы оператора через элементы его матрицы. Норма самосопряженного оператора. Примеры вычисления нормы.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Контрольная работа 1
  • неблокирующий Контрольная работа 2
  • неблокирующий Контрольная работа 3
  • неблокирующий Самостоятельная работа
    Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: оценивается выполнение домашних заданий и подготовка к семинарам. Контроль может проводиться в форме устных и письменных опросов по материалу домашних заданий. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за самостоятельную работу определяется перед итоговым контролем.
  • неблокирующий Коллоквиум
  • неблокирующий Экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.1 * Коллоквиум + 0.1 * Контрольная работа 1 + 0.1 * Контрольная работа 2 + 0.1 * Контрольная работа 3 + 0.1 * Самостоятельная работа + 0.5 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Бурмистрова Е. Б., Лобанов С. Г.-ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебник и практикум для академического бакалавриата-М.:Издательство Юрайт,2019-421-Бакалавр. Академический курс-978-5-9916-3588-2: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/lineynaya-algebra-425852

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Практикум: Учебное пособие / А.С. Бортаковский, А.В. Пантелеев. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2015. - 352 с.: 60x90 1/16. - (Высшее образование: Бакалавриат). (переплет) ISBN 978-5-16-010206-1 - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/476097
  • Основы линейной алгебры и аналитической геометрии: Учебно-методическое пособие / В.Г. Шершнев. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 168 с.: 60x88 1/16. - (Высшее образование: Бакалавриат). (обложка) ISBN 978-5-16-005479-7 - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/318084
  • Сабитов И. Х., Михалев А. А.-ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 2-е изд., испр. и доп. Учебное пособие для академического бакалавриата-М.:Издательство Юрайт,2019-258-Бакалавр. Академический курс-978-5-534-08941-7: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/lineynaya-algebra-i-analiticheskaya-geometriya-441250