• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Алгебра и анализ: вводный курс (level 1, level 2)

2019/2020
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
3
Кредиты
Статус:
Курс обязательный
Когда читается:
1-й курс, 1 модуль

Преподаватели


Рунев Евгений Валентинович

Программа дисциплины

Аннотация

Целью освоения дисциплины «Алгебра и анализ: вводный курс» является изучение разделов «Элементарные функции», «Векторы на плоскости и в пространстве», «Прямая линия на плоскости», «Комплексные числа» и «Полиномы и рациональные дроби», позволяющие студенту ориентироваться в таких дисциплинах, как «Линейная алгебра», «Математический анализ–I», «Математический анализ–II», «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Эконометрика». Курс " Алгебра и анализ: вводный курс" будет использоваться в теории и приложениях дисциплин экономического цикла. Материалы курса могут быть использованы для для построения и исследования математических моделей в различных предметных областях, в первую очередь в экономике.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целью освоения дисциплины «Алгебра и анализ: вводный курс» является изучение разделов «Элементарные функции», «Векторы на плоскости и в пространстве», «Прямая линия на плоскости», «Комплексные числа» и «Полиномы и рациональные дроби», позволяющие студенту ориентироваться в таких дисциплинах, как «Линейная алгебра», «Математический анализ–I», «Математический анализ–II», «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Эконометрика». Курс " Алгебра и анализ: вводный курс" будет использоваться в теории и приложениях дисциплин экономического цикла.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Умеет находить область определения, множество значений функции, исследовать функцию на монотонность, чётность/нечетность, периодичность.
  • Знает основные элементарные функции, умеет строить графики элементарных функций с помощью основных преобразований на плоскости.
  • Знает свойства модуля, решает уравнения и неравенства с применением свойств модуля.
  • Умеет применять основные операции над векторами к решению практических и геометрических задач (в том числе используя теорему о делении отрезка в заданном отношении).
  • Демонстрирует знание концепции уравнения прямой линии на плоскости, умение составить уравнение прямой, построить график прямой линии, применять условия взаимного расположения прямых на плоскости в решении геометрических и экономических задач
  • Умеет работать с комплексными числами в произвольной форме записи (алгебраическая, тригонометрическая, показательная), решает уравнения и неравенства с комплексными числами и интерпретирует результаты геометрически.
  • Умеет применять теоремы Безу, Декарта к конкретным многочленам, раскладывать многочлены на множители с использованием теоремы о рациональных корнях многочлена.
  • Демонстрирует умение представлять правильную рациональную дробь в сумму простейших дробей.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Множества и отображения
    Множества и подмножества. Пустое множество. Множество всех подмножеств множества. Задание множеств. Операции над множествами. Декартово произведение множеств. Взаимно однозначное соответствие. Эквивалентные множества, счетные и несчетные множества. Примеры. Множество вещественных чисел. Расширенная числовая ось. Аксиоматика вещественных чисел. Подмножества множества вещественных чисел. Графическое изображение множеств на плоскости. Отображение. Область определения и область значений. Числовая функция: график числовой функции, монотонность, периодичность, чётные и нечётные функции. Арифметические операции над числовыми функциями. Наибольшее и наименьшее значение монотонной функции. Элементарные функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Преобразования графиков элементарных функций на плоскости (сдвиги по осям, масштабные преобразования, отражения). Обратное отображение, его свойство. Композиция отображений. Свойства композиции. Инъективное, сюръективное и биективное отображения. Примеры числовых функций, задающих сюръективное, инъективное и биективное отображения.
  • Векторы в R^n
    Геометрические векторы – повторение: определение, правила сложения треугольника и параллелограмма, правило многоугольника. Арифметические векторы. Линейные операции. Координаты вектора. Линейная зависимость и линейная независимость векторов в R^n . Скалярное произведение векторов в R^n и его свойства. Угол между векторами. Проекция вектора на ось и на направление. Свойства проекций. Условие коллинеарности и ортогональности векторов. Деление отрезка в заданном отношении. Векторное произведение: свойства, вычисление, геометрический смысл. Смешанное произведение: свойства, вычисление, геометрический смысл. Двойное векторное произведение: свойства. Приложение: вычисление площади параллелограмма и объёма параллелепипеда
  • Прямая линия на плоскости и в пространстве. Плоскость в пространстве
    Уравнение линии на плоскости и в пространстве: прямая. Уравнение поверхности в пространстве: плоскость. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору, уравнение по точке и направляющему вектору, каноническое, общее, параметрическое уравнение, уравнение с угловым коэффициентом, уравнение по двум точкам. Взаимное расположение двух прямых на плоскости: угол между прямыми, условие ортогональности и параллельности. Уравнение плоскости в пространстве: по точке и нормальному вектору, по трём точкам. Уравнение прямой в пространстве: каноническое уравнение, параметрическое уравнение. Взаимное расположение плоскостей. Прямая, как пересечение плоскостей. Взаимное расположение двух прямых в пространстве: угол между прямыми, условие ортогональности и параллельности. Взаимное расположение прямой и плоскости: угол между прямой и плоскостью, условие ортогональности и параллельности. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между прямыми. Расстояние между плоскостями. Применение к решению геометрических задач.
  • Комплексные числа
    Определение, арифметические операции и их свойства. Модуль, комплексное сопряжение. Алгебраическая форма записи. Геометрическая интерпретация. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Показательная форма записи комплексного числа. Формулы Эйлера. Возведение в натуральную степень. Формулы Муавра. Извлечение корня n-й степени из комплексного числа. Уравнения и неравенства с комплексными числами и их геометрическая интерпретация.
  • Полиномы и рациональные дроби
    Степень полинома. Операции над полиномами – сложение, умножение. Бином Ньютона. Корень полинома. Делимость полиномов. Неприводимый полином. Теорема Безу. Теорема Декарта. Теорема Виета. Разложение полиномов на множители. Основная теорема высшей алгебры (теорема Гаусса). Теорема о полиноме с целыми коэффициентами. Деление полиномов с остатком. Схема Горнера. Теорема о каноническом разложении полинома. Кратные корни полинома. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей. Случай простых вещественных корней знаменателя дроби.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Индивидуальное домашнее задание 1
  • неблокирующий Индивидуальное домашнее задание 2
  • неблокирующий Индивидуальное домашнее задание 3
  • неблокирующий Экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (1 модуль)
    0.1 * Индивидуальное домашнее задание 1 + 0.1 * Индивидуальное домашнее задание 2 + 0.1 * Индивидуальное домашнее задание 3 + 0.7 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Ч. 1 4-е изд., пер. и доп. Учебник для бакалавров - М.:Издательство Юрайт - 2016 - 660с. - ISBN: 978-5-9916-2733-7 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/matematicheskiy-analiz-ch-1-389342
  • Кудрявцев Л.Д. - КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В 3 Т. ТОМ 2 В 2 КНИГАХ 6-е изд., пер. и доп. Учебник для бакалавров - М.:Издательство Юрайт - 2016 - 720с. - ISBN: 978-5-9916-6126-3 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/kurs-matematicheskogo-analiza-v-3-t-tom-2-v-2-knigah-387530

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Путко Б.А., Тришин И.М., Кремер Н.Ш. - под ред. - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В 2 Т. Учебник и практикум для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2016 - 634с. - ISBN: 978-5-9916-6238-3 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/matematicheskiy-analiz-v-2-t-388079
  • Шипачев В.С. - ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ПОЛНЫЙ КУРС 4-е изд., испр. и доп. Учебник для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2016 - 607с. - ISBN: 978-5-9916-4358-0 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/vysshaya-matematika-polnyy-kurs-388659