• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Основы математических исследований

2017/2018
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
3
Кредиты
Статус:
Курс по выбору
Когда читается:
1-й курс, 3 модуль

Преподаватель


Петросян Ованес Леонович

Программа дисциплины

Аннотация

Целями освоения дисциплины «Основы математических исследований» являются изучение метода вариации, решение вариационных задач и задач оптимального управления. Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих областей знания, для построения и исследования математических моделей таких задач. В рамках дисциплины изучаются такие разделы, как "Дифференциал Фреше. Функции нескольких переменных", "Интегрирование. Основная лемма вариационного исчисления", "Производная по Гато. Уравнение Эйлера", "Обыкновенные дифференциальные уравнения", "Задачи вариационного исчисления", "Изопериметрические задачи" и "Задачи оптимального управления".
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • изучение метода вариации, решение вариационных задач и задач оптимального управления
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Умеет вычислять первый и второй дифференциал, дифференциал Фреше, находить локальные экстремумы ФНП
  • Умеет вычислять неопределенные, определенные и несобственные интегралы, умеет использовать формулы замены переменной и интегрирования по частям
  • Демонстрирует знание понятий функционалов, производной по Гато и необходимое условие экстремума
  • Умеет решать обыкновенные дифференциальные уравнения разрешённые относительно старшей производной
  • Умеет ставить задачу вариационного исчисления и знает необходимое условие экстремального решения
  • Умеет применять метод множителей Лагранжа для функций нескольких переменных
  • Демонстрирует знание изопериметрической задачи и задачи Дидоны
  • Умеет ставить задачи оптимального управления
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Дифференциал Фреше. Функции нескольких переменных
    Функции нескольких переменных. Первый и второй дифференциалы, Дифференциал Фреше. Локальные экстремумы функций нескольких переменных: необходимое и достаточное условие.
  • Интегрирование. Основная лемма вариационного исчисления
    Вычисление неопределённых интегралов. Вычисление определённых интегралов. Вычисление Несобственных интегралов. Формула замены переменной. Формула интегрирования по частям. Лемма Дюбуа–Реймона, основная лемма вариационного исчисления
  • Производная по Гато. Уравнение Эйлера
    Функционалы. Производная по Гато. Необходимое условие экстремума. Уравнение Эйлера.
  • Обыкновенные дифференциальные уравнения
    Обыкновенные дифференциальные уравнения разрешённые относительно старшей производной: уравнения с разделяющимися переменными, уравнения, сводящиеся заменой переменной к уравнениям с разделяющимися переменными, линейные дифференциальные уравнения.
  • Задачи вариационного исчисления
    Постановка задачи вариационного исчисления. Необходимое условие экстремального решения. Задача о брахистохроне. Задача о минимальной площади поверхности фигуры вращения.
  • Изопериметрические задачи
    Метод множителей Лагранжа для функций нескольких переменных. Изопериметрическая задача. Задача Дидоны. Условия трансверсальности
  • Задачи оптимального управления
    Постановка задач оптимального управления. Необходимое условие.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашнее задание
    Домашнее задание выполняется студентами во внеаудиторная время в формате домашней работы. Выдается студентам в одном варианте и состоит из 5 задач. Каждой задаче присвоен свой балл. Срок выполнения домашнего задания – 1 неделя. Форма представления обучающимися домашнего задания – представленные в письменном виде решения задач.
  • неблокирующий Контрольная работа
    Контрольная работа проводится в формате аудиторной письменной работы. Время на выполнение контрольной работы – 80 минут. Выдается студентам в двух вариантах и состоит из 4 задач. Каждой задаче присвоен свой балл.
  • неблокирующий Аудиторная работа
    Преподаватель оценивает работу студентов на семинарских занятиях: оценивается активность студентов, успешное решение задач на семинаре. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за работу на семинарских занятиях определяется перед итоговым контролем.
  • неблокирующий Экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (3 модуль)
    0.24 * Аудиторная работа + 0.18 * Домашнее задание + 0.18 * Контрольная работа + 0.4 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Краткий курс математического анализа. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды: Учебник / Кудрявцев Л.Д., - 4-е изд. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2015. - 444 с.: ISBN 978-5-9221-1585-8
  • Математика в примерах и задачах: Учеб. пособие / Л.Н. Журбенко, Г.А. Никонова, Н.В. Никонова, О.М. Дегтярева. - М.: ИНФРА-М, 2010. - 372 с.: 60x88 1/16. - (Высшее образование). (обложка) ISBN 978-5-16-003841-4 - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/209484

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Geering, H. P. (2007). Optimal Control with Engineering Applications. Berlin: Springer. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=197139