Delivered at:: Department of Mathematics

Course type:: Elective course

When:: 1 year, 1, 2 module

Instructor

Runev, Evgeniy V.

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Целью освоения дисциплины «Алгебра и анализ: вводный курс(продвинутый уровень)» является изучение разделов «Множества и функции», «Векторы », «Прямая линия на плоскости и в пространстве. Плоскость в пространстве», «Комплексные числа» и «Полиномы и рациональные дроби», позволяющие студенту ориентироваться в таких дисциплинах, как «Линейная алгебра», «Математический анализ–I», «Математический анализ–II», «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Эконометрика». Курс " Алгебра и анализ: вводный курс (продвинутый уровень)" будет использоваться в теории и приложениях дисциплин экономического цикла. Материалы курса могут быть использованы для построения и исследования математических моделей в различных предметных областях, в первую очередь в экономике.

Цель освоения дисциплины

изучение разделов «Множества и функции», «Векторы », «Прямая линия на плоскости и в пространстве. Плоскость в пространстве», «Комплексные числа» и «Полиномы и рациональные дроби», позволяющие студенту ориентироваться в таких дисциплинах, как «Линейная алгебра», «Математический анализ–I», «Математический анализ–II», «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Эконометрика»

Планируемые результаты обучения

Умение находить область определения, множество значений функции, исследовать функцию на монотонность, чётность/нечетность, периодичность.
Знать основные элементарные функции, уметь строить графики элементарных функций с помощью основных преобразований на плоскости.
Знать свойства модуля, решать уравнения и неравенства с применением свойств модуля
Уметь применять основные операции над векторами к решению практических и геометрических задач
Знать концепцию уравнения прямой линии на плоскости, умение составить уравнение прямой, построить график прямой линии, применять условия взаимного расположения прямых на плоскости в решении геометрических и экономических задач
Умение работать с комплексными числами в произвольной форме записи, решать алгебраические уравнения с комплексными числами, производить арифметические операции возведения в степень и извлечения корня.
Умение применять теоремы Безу и Декарта к конкретным полиномам, раскладывать их на множители. Выделять целую часть из рациональной дроби. Представлять правильную рациональную дробь в сумму простейших дробей.

Содержание учебной дисциплины

Множества и функции
Множества и подмножества. Пустое множество. Множество всех подмножеств множества. Задание множеств. Операции над множествами. Декартово произведение множеств. Взаимно однозначное соответствие. Эквивалентные множества, счетные и несчетные множества. Примеры. Множество вещественных чисел. Расширенная числовая ось. Аксиоматика вещественных чисел. Подмножества множества вещественных чисел. Отображение. Область определения и область значений. Числовая функция: график числовой функции, монотонность, периодичность, чётные и нечётные функции. Арифметические операции над числовыми функциями. Наибольшее и наименьшее значение монотонной функции. Элементарные функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Преобразования графиков элементарных функций на плоскости (сдвиги по осям, масштабные преобразования, отражения). Обратное отображение, его свойство. Композиция отображений. Свойства композиции. Инъективное, сюръективное и биективное отображения. Примеры числовых функций, задающих сюръективное, инъективное и биективное отображения.
Векторы в R^n
Геометрические векторы –повторение: определение, правило треугольника и параллелограмма, правило многоугольника. Арифметические векторы. Линейные операции. Координаты вектора. Линейная зависимость и линейная независимость векторов в R^n . Скалярное произведение векторов в R^n и его свойства. Угол между векторами. Проекция вектора на ось и на направление. Свойства проекций. Условие коллинеарности и ортогональности векторов. Деление отрезка в заданном отношении. Приложение: вычисление площади параллелограмма и объёма параллелепипеда
Прямая линия на плоскости и в пространстве. Плоскость в пространстве
Уравнение линии на плоскости и в пространстве: прямая. Уравнение поверхности в пространстве: плоскость. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору, уравнение по точке и направляющему вектору, каноническое, общее, параметрическое уравнение, уравнение с угловым коэффициентом, уравнение по двум точкам. Взаимное расположение двух прямых на плоскости: угол между прямыми, условие ортогональности и параллельности. Уравнение плоскости в пространстве: по точке и нормальному вектору, по трём точкам. Уравнение прямой в пространстве: каноническое уравнение, параметрическое уравнение. Прямая, как пересечение плоскостей. Взаимное расположение двух прямых в пространстве: угол между прямыми, условие ортогональности и параллельности. Взаимное расположение прямой и плоскости: угол между прямой и плоскостью, условие ортогональности и параллельности. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между прямыми. Расстояние между плоскостями. Применение к решению геометрических задач
Комплексные числа
Определение, арифметические операции и их свойства. Модуль, комплексное сопряжение. Алгебраическая форма записи. Геометрическая интерпретация. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Показательная форма записи комплексного числа. Формулы Эйлера. Возведение в натуральную степень. Формулы Муавра. Извлечение корня n-й степени из комплексного числа. Уравнения и неравенства с комплексными числами и их геометрическая интерпретация
Полиномы и рациональные дроби
Степень полинома. Операции над полиномами – сложение, умножение. Корень полинома. Делимость полиномов. Неприводимый полином. Теорема Безу. Теорема Декарта. Теорема Виета. Разложение полиномов на множители. Основная теорема высшей алгебры (теорема Гаусса). Теорема о полиноме с целыми коэффициентами. Деление полиномов с остатком. Схема Горнера. Теорема о каноническом разложении полинома. Кратные корни полинома. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей. Случай простых вещественных корней знаменателя дроби

Элементы контроля

Индивидуальное домашнее задание 1
Отсканированные выполненные работы прикрепляются в SmartLMS или отправляются на почту преподавателя (по решению преподавателя семинаров). По решению преподавателя семинаров некоторые индивидуальные домашние задания могут состоять из внеаудиторной и аудиторной частей.
Индивидуальное домашнее задание 2
Выдача вариантов происходит в курсе на платформе SmartLMS. Выполненная работа сканируется и прикрепляется в SmartLMS. При указании в задании ответы вводятся в систему. По решению преподавателя семинаров некоторые индивидуальные домашние задания могут состоять из внеаудиторной и аудиторной частей.
Контрольная работа
По решению преподавателя семинаров некоторые контрольная работа может состоять из внеаудиторной и аудиторной частей, по согласованию преподавателей семинаров и лектора проводится общепоточно на платформе Smart LMS. Контрольная работа проводится дистанционно в письменной форме. На КР выделяется 80 минут и 10 минут на загрузку заданий. Работа проводится на платформе Smart LMS с дополнительным использованием платформ Zoom или MS Teams . К занятию, на котором будет проводиться контрольная работа, необходимо подключиться за 15 минут до начала, по сигналу преподавателя приступить к решению заданий в Smart LMS. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, скоростной интернет, поддержка Zoom/MS Teams. Ответы на задания записываются на белых листах А4, черной ручкой, листы нумеруются, при указании в задании ответы дополнительно вводятся в окно ответа. После окончания работы студент должен сфотографировать/отсканировать свое решение и загрузить в Smart LMS. Фотографии должны быть вертикальными, чтобы текст не был размыт и читался однозначно. Ответы и номера заданий нужно выделить . На протяжении работы камера и микрофон должны быть включены. Требуется расположить камеру сбоку или фронтально от себя таким образом, чтобы она была направлена на рабочее поле – лист, на котором выполняется работа, на студента и пространство вокруг студента (помещение должно быть хорошо освещено). Разрешается использовать вход в Zoom / MS Teams с мобильного телефона с его камерой. По требованию преподавателя студент обязан переключиться на трансляцию своего экрана: включить заднюю камеру мобильного телефона или повернуть в течение 5 секунд телефон к экрану компьютера, или запустить демонстрацию экрана. Выходить во время контрольной работы из комнаты нельзя. На столе можно иметь только письменные принадлежности, без пенала, чистые листы бумаги и воду. Наличие каких-либо носителей информации поблизости от рабочего места студента, а также других людей, считается нарушением и заканчивается удалением студента с работы и выставлением оценки «0». Во время контрольной работы студентам запрещено выключать камеру и микрофон: до окончания работы видео и звук должны оставаться активными, включая время на сканирование выполненной работы и отправку ее на проверку. Кратковременным нарушением связи во время контрольной работы считается нарушение связи менее 5 минут и не более одного раза. Долговременным нарушением связи во время контрольной работы считается нарушение от 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент может продолжить участие в написании работы по усмотрению преподавателя.
Экзамен
Экзамен проводится с применением дистанционных образовательных технологий: платформ Smart LMS и Ms Teams / Zoom. Экзамен проводится дистанционно в письменной форме. На экзамен выделяется 90 минут и 15 минут на загрузку заданий. Работа проводится на платформе Smart LMS и Zoom или MS Teams . Студенту необходимо подключиться за 15 минут до начала экзамена, по сигналу преподавателя приступить к выполнению заданий, выложенных в Smart LMS. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, скоростной интернет, поддержка Zoom/MS Teams. Ответы на задания записываются на белых листах А4, черной ручкой, листы нумеруются, при указании в задании ответы дополнительно вводятся в окно ответа. После окончания работы студент должен сфотографировать/отсканировать свое решение и загрузить в Smart LMS. Фотографии должны быть вертикальными, чтобы текст не был размыт и читался однозначно. Ответы и номера заданий нужно выделить . На протяжении работы камера и микрофон должны быть включены. Требуется расположить камеру сбоку или фронтально от себя таким образом, чтобы она была направлена на рабочее поле – лист, на котором выполняется работа, на студента и пространство вокруг студента (помещение должно быть хорошо освещено). Разрешается использовать вход в Zoom / MS Teams с мобильного телефона с его камерой. По требованию преподавателя студент обязан переключиться на трансляцию своего экрана: включить заднюю камеру мобильного телефона или повернуть в течение 5 секунд телефон к экрану компьютера, или запустить демонстрацию экрана. Выходить во время экзамена из комнаты нельзя. На столе можно иметь только письменные принадлежности, без пенала, чистые листы бумаги и воду. Наличие каких-либо носителей информации поблизости от рабочего места студента, а также других людей, считается нарушением и заканчивается удалением студента с работы и выставлением оценки «0». Во время контрольной работы студентам запрещено выключать камеру и микрофон: до окончания работы видео и звук должны оставаться активными, включая время на сканирование выполненной работы и отправку ее на проверку. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи менее 5 минут и не более одного раза. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение от 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент может продолжить участие в написании работы по усмотрению преподавателя.

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.12 * Индивидуальное домашнее задание 1 + 0.12 * Индивидуальное домашнее задание 2 + 0.27 * Контрольная работа + 0.49 * Экзамен

Bachelor’s Programme 'Economics'

Study Office

Algebra and Pre-Calculus: Introductory Course (Advanced Level)

Instructor

Программа дисциплины

Аннотация

Цель освоения дисциплины

Планируемые результаты обучения

Содержание учебной дисциплины

Элементы контроля

Промежуточная аттестация

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

Рекомендуемая дополнительная литература