Dynamic systems in the economy

2020/2021

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

3

ECTS credits

Delivered at:

Department of Mathematics

Course type:

Elective course

When:

2 year, 3 module

Instructor

Alexeeva, Tatyana

Программа дисциплины

Аннотация

Целью освоения дисциплины «Динамические системы в экономике» является получе-ние новых и расширение уже имеющихся знаний по разделу «Дифференциальные и разност-ные уравнения и их системы», а также их модельным приложениям в экономике, что позволит сформировать теоретический и модельный прикладной аппарат для дальнейшего его примене-ния студентами-экономистами в учебном процессе и научно-исследовательской деятельности. Материалы курса могут быть использованы для решения конкретных задач на базе обыкновен-ных дифференциальных уравнений (ОДУ) и их систем, а также разностных уравнений с по-мощью аналитических и численных методов, для построения и исследования математических моделей динамики процессов в различных предметных областях, в первую очередь в экономи-ке.

Цель освоения дисциплины

• Целью освоения дисциплины «Динамические системы в экономике» является получе-ние новых и расширение уже имеющихся знаний по разделу «Дифференциальные и разност-ные уравнения и их системы», а также их модельным приложениям в экономике, что позволит сформировать теоретический и модельный прикладной аппарат для дальнейшего его примене-ния студентами-экономистами в учебном процессе и научно-исследовательской деятельности.

Планируемые результаты обучения

• демонстрирует знание основных понятий теории динамических систем, распознает типы систем ОДУ
• умеет решать линейные ОДУ с постоянными коэффициентами, применяет метод собственных чисел и собственных векторов, метод неопределенных коэффициентов
• демонстрирует знание понятия фазового пространства и точек равновесия динамических систем, классифицирует стационарные точки
• демонстрирует знание основных понятий теории устойчивости, устойчивости по первому приближению
• демонстрирует знание общего и частного решения разностного уравнения, умеет решать системы разностных уравнений
• демонстрирует знание моделей конкуренции, моделей банковских вкладов, модели Солоу, модели Рамсея

Содержание учебной дисциплины

• Введение
  Основные понятия теории динамических систем. Понятие о системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), ее решениях, фундаментальная система решений. Типы систем ОДУ. Понятие о динамической системе. Примеры динамических моделей из экономики.
• Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
  Системы линейных ОДУ с постоянными коэффициентами. Нормальная система уравне-ний n-го порядка, её решение, графическое представление решения. Фундаментальная матрица. Структура множества решений. Принцип суперпозиции. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Особые решения. Огибающая семейства кривых. Метод собственных чисел и собственных векторов. Метод неопределенных коэффициентов. Метод вариации произвольной постоянной. Метод матричной экспоненты.
• Качественные методы исследования решений систем ОДУ
  Фазовое пространство, точки равновесия динамических систем. Автономные системы ОДУ. Фазовые траектории (портреты) и интегральные кривые автономной системы ОДУ. Классификация стационарных точек для линейных автономных систем ОДУ (2D). Анализ поведения динамических систем в фазовом пространстве.
• Общие вопросы теории устойчивости решений систем ОДУ. Первые интегралы
  Основные понятия теории устойчивости. Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Устойчивость по первому приближению. Системы первого приближения. Первые интегралы. Функции Ляпунова.
• Разностные уравнения
  Разностные уравнение n-го порядка в нормальной форме, понятие об общем и частном решениях. Модель Фибоначчи. Линейное однородное разностное уравнение n-го порядка и пространство его решений. Построение фундаментальной системы решений линейного разностного уравнения с постоянными вещественными коэффициентами. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения. Линейная однородная система разностных уравнений. Построение фундаментальной системы решений линейной однородной системы разностных уравнений с постоянными вещественными коэффициентами. Структура общего решения неоднородной системы линейных разностных уравнений. Системы разностных уравнений.
• Приложения систем ОДУ и разностных уравнений в экономике и других областях.
  Модели конкуренции (на базе модели Лотки-Вольтерра), обобщенная модель Басса. Модели банковских вкладов, паутинообразные модели рынка, динамика дохода в модели Кейнса, динамика эпидемии, модель делового цикла, модель Солоу, модель Рамсея и др.

Элементы контроля

• Контрольная работа №1
• Домашнее задание №1
  Домашнее задание (ЛИСТОК) выдается студентам в одном варианте и состоит из нескольких заданий по пройденным темам. Каждому заданию присвоен свой балл (points), итоговая оценка выставляется в "100+"-балльной шкале. Шкала перевода оценок в 10-балльную систему прикладывается к заданию листка (шкала оценивания – см. таблицу 1). Срок выполнения домашнего задания определяется в инструкции к нему. Форма представления обучающимися домашнего задания - представленные в письменном виде решения задач, оформленные в виде аккуратно набранного текста в формате PDF с подробными пояснениями, графиками (если необходимо), формулами, ссылками на теоретические положения (определения, теоремы). Листок должен быть сдан в письменном виде и устно обязательно. Листки без устной сдачи не засчитываются. По решению преподавателя возможен групповой формат (по 2 человека) выполнения листка (сообщается преподавателем заранее), в этом случае оценка за домашнее задание формируется индивидуально по результатам устной сдачи.
• Домашнее задание №2
  Домашнее задание (ЛИСТОК) выдается студентам в одном варианте и состоит из нескольких заданий по пройденным темам. Каждому заданию присвоен свой балл (points), итоговая оценка выставляется в "100+"-балльной шкале. Шкала перевода оценок в 10-балльную систему прикладывается к заданию листка (шкала оценивания – см. таблицу 1). Срок выполнения домашнего задания определяется в инструкции к нему. Форма представления обучающимися домашнего задания - представленные в письменном виде решения задач, оформленные в виде аккуратно набранного текста в формате PDF с подробными пояснениями, графиками (если необходимо), формулами, ссылками на теоретические положения (определения, теоремы). Листок должен быть сдан в письменном виде и устно обязательно. Листки без устной сдачи не засчитываются. По решению преподавателя возможен групповой формат (по 2 человека) выполнения листка (сообщается преподавателем заранее), в этом случае оценка за домашнее задание формируется индивидуально по результатам устной сдачи.
• Контрольная работа №2
• Самостоятельная работа (мини-ДЗ)
• Домашнее задание №3
  Домашнее задание (ЛИСТОК) выдается студентам в одном варианте и состоит из нескольких заданий по пройденным темам. Каждому заданию присвоен свой балл (points), итоговая оценка выставляется в "100+"-балльной шкале. Шкала перевода оценок в 10-балльную систему прикладывается к заданию листка (шкала оценивания – см. таблицу 1). Срок выполнения домашнего задания определяется в инструкции к нему. Форма представления обучающимися домашнего задания - представленные в письменном виде решения задач, оформленные в виде аккуратно набранного текста в формате PDF с подробными пояснениями, графиками (если необходимо), формулами, ссылками на теоретические положения (определения, теоремы). Листок должен быть сдан в письменном виде и устно обязательно. Листки без устной сдачи не засчитываются. По решению преподавателя возможен групповой формат (по 2 человека) выполнения листка (сообщается преподавателем заранее), в этом случае оценка за домашнее задание формируется индивидуально по результатам устной сдачи.

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (3 модуль)
  0.12 * Домашнее задание №1 + 0.12 * Домашнее задание №2 + 0.12 * Домашнее задание №3 + 0.29 * Контрольная работа №1 + 0.29 * Контрольная работа №2 + 0.06 * Самостоятельная работа (мини-ДЗ)

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Бугров Я.С., Никольский С.М. - ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3 Т. Т.3 В 2 КНИГАХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. РЯДЫ. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 7-е изд. Учебник для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2016 - 507с. - ISBN: 978-5-9916-6340-3 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/vysshaya-matematika-v-3-t-t-3-v-2-knigah-differencialnye-uravneniya-kratnye-integraly-ryady-funkcii-kompleksnogo-peremennogo-388890

Рекомендуемая дополнительная литература

• Бугров Я.С., Никольский С.М. - ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3 Т. Т.1 В 2 КНИГАХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 7-е изд. Учебник для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2016 - 508с. - ISBN: 978-5-9916-6251-2 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/vysshaya-matematika-v-3-t-t-1-v-2-knigah-differencialnoe-i-integralnoe-ischislenie-388586