Mathematics.Mathematical Analysis II

2019/2020

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

7

ECTS credits

Delivered at:

Department of Mathematics

Course type:

Compulsory course

When:

1 year, 3, 4 module

Instructors

Alexeeva, Tatyana

Ikhsanov, Lev

Minabutdinov, Aleksei

Runev, Evgeniy V.

Программа дисциплины

Аннотация

Целью освоения дисциплины «Математический анализ II» является изучение разделов «Ин-тегральное исчисление», «Числовые и функциональные ряды» и «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений», позволяющие студенту ориентироваться в таких дисци-плинах, как «Теория вероятностей и математическая статистика», «Методы оптимальных реше-ний», «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Теория игр», «Эконометрика». Курс "Математиче-ский анализ II" будет использоваться в теории и приложениях дисциплин экономического цикла. Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения численных мето-дов решения задач из многих областей знания, для построения и исследования математических мо-делей в различных предметных областях, в первую очередь в экономике. Дисциплина является модельным прикладным аппаратом для изучения студентами-экономистами математической компоненты своего профессионального образования.

Цель освоения дисциплины

• изучение разделов «Интегральное исчисление», «Числовые и функциональные ряды» и «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Планируемые результаты обучения

• демонстрирует знание свойств неопределенного интеграла
• демонстрирует знание интегралов от основных элементарных функций и табличных интегралов
• знает основные методы интегрирования
• демонстрирует знание свойств определенного интеграла
• демонстрирует умение пользоваться заменой переменной и формулой интегрирования по частям для определенного интеграла
• демонстрирует знание абсолютной и условной сходимости несобственных интегралов и признаков сходимости
• демонстрирует знание геометрической интерпретации двойного интеграла
• умеет сводить двойной интеграл к повторному и заменять переменную в двойном интеграле
• умеет вычислять площадь криволинейной фигуры с помощью двойного интеграла
• демонстрирует знание необходимого условия сходимости ряда и признаки сходимости для знакопостоянных и знакочередующихся рядов
• демонстрирует знание сходимости и равномерной сходимости функционального ряда
• демонстрирует знание понятий промежутка и радиуса сходимости степенного ряда и формулы для вычисления радиуса сходимости
• знает теорему о представлении функции в виде ее ряда Фурье
• демонстрирует знание основных понятий теории дифференциальных уравнений
• умеет классифицировать дифференциальные уравнения первого и высших порядков
• умеет находить общее и частное решение ДУ
• умеет находить частные решения неоднородных уравнений с правыми частями специального вида

Содержание учебной дисциплины

• Интегрирование: первообразная, неопределенный интеграл
  Первообразная и неопределенный интеграл. Первая основная теорема интегрального исчисления (о существовании первообразной у непрерывной функции). Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций. Табличные интегралы. Основные методы интегрирования (простейшие приемы интегрирования, замена переменной, интегрирование по частям). Интегрирование некоторых элементарных функций.
• Интегрирование: определенный интеграл и его приложения
  Интегральная сумма Римана, определенный интеграл и его геометрическая интерпретация. Интегральные суммы Дарбу. Свойства определенного интеграла (связанные с подынтегральной функцией, с отрезком интегрирования). Теорема о среднем значении. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его производная по этому пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Вторая основная теорема интегрального исчисления (о существовании определенного интеграла у непрерывной функции). Интегрируемые по Риману функции. Замена переменной и формула интегрирования по частям для определенного интеграла
• Интегрирование: несобственные интегралы.
  Несобственные интегралы. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признаки сходимости.
• Кратные интегралы. Двойной интеграл
  Понятие двойного интеграла и его геометрическая интерпретация. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному. Замена переменной в двойном интеграле. Вычисление площади криволинейной фигуры с помощью двойного интеграла.
• Числовые и функциональные ряды
  Понятие о числовых рядах. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сходимости для знакопостоянных и знакочередующихся рядов. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость функционального ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование функциональных рядов.
• Числовые и функциональные ряды
  Степенные ряды. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда. Формула для вычисления радиуса сходимости. Понятие ряда Тейлора. Понятие о рядах Фурье. Теорема о представлении функции в виде ее ряда Фурье.
• Дифференциальные уравнения
  Основные понятия теории дифференциальных уравнений: дифференциальное уравнение (ДУ), порядок, решение, интегральная кривая. ДУ первого порядка. Задача Коши. Теорема суще-ствования и единственности (формулировка). Общее и частное решение. ДУ первого порядка, интегрируемые в квадратурах. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним. ДУ первого порядка: однородное, приводящиеся к однородному, линейное, уравнение Бер-нулли, в полных дифференциалах. ДУ высших порядков. Задача Коши. ДУ высших порядков, допускающие понижение поряд-ка. Линейные однородные и неоднородные уравнения 2-го порядка. Линейно зависимые и неза-висимые решения. Определитель Вронского для решений линейного однородного уравнения. Фун-даментальная система решений. Структура общего решения линейного однородного уравнения 2-го порядка. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера решения уравнений. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения 2-го порядка. Инте-грирование линейных неоднородных ДУ методом вариации произвольных постоянных. Нахождение частных решений неоднородных уравнений с правыми частями специального вида.

Элементы контроля

• Контрольная работа 1
• Контрольная работа 2
• Контрольная работа 3
• Контрольная работа 4
• Самостоятельная работа
• Экзамен
  Экзамен проводится в письменной форме. Экзамен проводится на платформе http://online.hse.ru/ с синхронизацией с конференцией в ZOOM. К экзамену (конференции Zoom и вход в аккаунт платформы online.hse) необходимо подключиться за 15 минут до начала экзамена и проверить работу всех устройств и ПО. Компьютер и рабочее место студента должен удовлетворять следующим требованиям: наличие камеры, звука, скоростного интернета. Для участия в экзамене студент обязан: 1) Залогиниться на обеих платформах под своим полным именем (ФИО, адрес корпоративной почты). 2) Пройти аутентификацию через ZOOM (включить видео и войти при включенном видео), в дальнейшем ZOOM используется для контроля проведения экзамена преподавателем. За 10 минут до начала экзамена вывести на аватар свой студенческий билет (пропуск НИУ ВШЭ с фотографией). Далее с момента начала экзамена, когда будет открыт экзаменационный вариант, включить видео и оставить его активным до окончания экзамена, включая время на сканирование выполненной работы и отправку ее на проверку. 2) Расположить камеру сбоку от себя таким образом, чтобы она была направлена на рабочее поле – лист, на котором выполняется экзаменационная работа, на студента и пространство вокруг студента (помещение должно быть хорошо освещено). 3) По требованию преподавателя студент обязан переключиться на трансляцию своего экрана. Во время экзамена студентам запрещено: 1) использовать любую постороннюю помощь, включая других людей, бумажные и электронные материалы, переписку с кем-либо любым способом, наушники и другие гаджеты и девайсы; 2) подключать виртуальный фон в ZOOM. Во время экзамена студентам разрешено: задать краткий вопрос преподавателю по содержанию задания, используя чат, предварительно подняв руку. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи не более чем на 2 минуты. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи на более, чем 2 минуты. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи подразумевает использование других вариантов заданий, в том числе усложненных; возможна устная форма.

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  0.16 * Контрольная работа 1 + 0.13 * Контрольная работа 2 + 0.13 * Контрольная работа 3 + 0.13 * Контрольная работа 4 + 0.1 * Самостоятельная работа + 0.35 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Ч. 1 4-е изд., пер. и доп. Учебник для бакалавров - М.:Издательство Юрайт - 2016 - 660с. - ISBN: 978-5-9916-2733-7 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/matematicheskiy-analiz-ch-1-389342
• Кудрявцев Л.Д. - КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В 3 Т. ТОМ 2 В 2 КНИГАХ 6-е изд., пер. и доп. Учебник для бакалавров - М.:Издательство Юрайт - 2016 - 720с. - ISBN: 978-5-9916-6126-3 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/kurs-matematicheskogo-analiza-v-3-t-tom-2-v-2-knigah-387530

Рекомендуемая дополнительная литература

• Путко Б.А., Тришин И.М., Кремер Н.Ш. - под ред. - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В 2 Т. Учебник и практикум для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2016 - 634с. - ISBN: 978-5-9916-6238-3 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/matematicheskiy-analiz-v-2-t-388079
• Шипачев В.С. - ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ПОЛНЫЙ КУРС 4-е изд., испр. и доп. Учебник для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2016 - 607с. - ISBN: 978-5-9916-4358-0 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/vysshaya-matematika-polnyy-kurs-388659