Математический анализ

2024/2025

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

9

Кредиты

Кто читает:

Департамент информатики

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

1-й курс, 1-4 модуль

Преподаватели

Ивлиев Вячеслав Сергеевич

Скопина Мария Александровна

Храбров Александр Игоревич

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина базовой части профессионального цикла. Данная дисциплина служит основой для профессиональной ориентации студентов при выборе дисциплин из вариативной части Программы. Дисциплина направлена на формирование у студентов теоретических знаний и практических навыков по основам математического анализа.

Цель освоения дисциплины

• Формирование у студентов теоретических знаний и практических навыков по основам математического анализа.

Планируемые результаты обучения

• Знает понятия множества, отношения, основные аксиомы вещественных чисел, принцип математической индукции, супремум и инфимум. Знает понятие предела последовательности, умеет их вычислять. Умеет проводить сравнение скорости возрастания последовательностей. Знает и умеет применять теорему Больцано-Вейерштрасса. Знает понятие фундаментальные последовательности, критерий Коши, верхний и нижний пределы. Умеет исследовать сходимость рядов.
• Знает различные определения предела функций в точке и их равносильности, умеет вычислять односторонние пределы. Знает различные определения непрерывных функций, их равносильность. Умеет проводить арифметические действия с непрерывными функциями, знает и умеет доказывать теоремы о стабилизации знака и о непрерывности композиции. Умеет вычислять предел lim sin x/x. Знает определение степенной функции и ее свойства.
• Дает определение производной и дифференцируемости функции в точке. Знает геометрический и физический смысл производной, арифметические действия с дифференцируемыми функциями, дифференцируемость композиции и обратной функции. Умеет вычислять производные элементарных функций, использовать теоремы Ферма и Ролля, Лагранжа и Коши. Знает формулу Тейлора для многочленов, раскладывает sin x, cos x и ex в ряд.
• Умеет доказывать иррациональность числа e. Знает необходимое и достаточные условия экстремума, дает определение выпуклых функций. Дает определение первообразной и неопределенного интеграла, примеры функций не имеющих первообразную. Умеет производить замену переменной в неопределенном интеграле и знает формула интегрирования по частям. Умеет вычислять определенный интеграл, проводит замену переменной в определенном интеграле. Умеет доказывать иррациональность числа π.
• Дает определение равномерной непрерывности функций. Умеет проводить оценку разности интеграла и интегральной суммы. Знает интегрируемость по Риману, формулу трапеций, формулу Эйлера-Маклорена для второй производной. Знает свойства несобственных интегралов, понятие абсолютной сходимости, признаки Абеля и Дирихле. Умеет вычислять интеграл от произведения монотонной и периодической функций.
• Дает определение метрического пространства, индуцированной метрики, скалярного произведения и нормы. Дает определения предела по Коши и по Гейне. Критерий Коши, непрерывных отображений. Знает доказательство теоремы Кантора для отображений метрических пространств. Определяет путь, носитель пути, простой путь, гладкий путь. Умеет вычислять длину кривой, заданной параметрически, длину графика функции и длину кривой, заданной в полярных координатах.
• Знает критерий сходимости ряда с неотрицательными членами, признак сравнения, признаки Коши и Признак Даламбера. Дает определение абсолютной и условной сходимости, умеет проводить оценку суммы знакочередующегося ряда. Дает определение поточечной и равномерной сходимости последовательности функций. Использует критерии равномерной сходимости. Знает отличие поточечной и равномерной сходимость рядов. Формулирует необходимое условие равномерной сходимости ряда.
• Дает определение степенных рядов, радиуса и круга сходимости. Знает матрицу Якоби, градиент, производную по направлению. Умеет вычислять частные производные. Умеет определять локальные экстремумы, стационарные точки. Знает достаточные условия экстремума. Использует метод множителей Лагранжа для поиска экстремума. Умеет вычислять расстояние от точки до гиперплоскости.

Содержание учебной дисциплины

• Раздел 1. Последовательности вещественных чисел. Пределы и непрерывность функций.
• Раздел 2. Дифференциальное и интегральное исчисление
• Раздел 3. Приложение интегрального исчисления и несобственные интегралы. Метрические и нормированные пространства
• Раздел 4. Числовые и функциональные ряды. Функции нескольких переменных

Элементы контроля

• Домашнее задание
• Коллоквиум
• Экзамен №1
• Экзамен №2
• Контрольная работа №1
• Контрольная работа №2
• Контрольная работа №3
• Контрольная работа №4

Промежуточная аттестация

• 2024/2025 2nd module
  0.05 * Домашнее задание + 0.05 * Домашнее задание + 0.35 * Коллоквиум + 0.1 * Контрольная работа №1 + 0.1 * Контрольная работа №2 + 0.35 * Экзамен №1
• 2024/2025 4th module
  0.05 * Домашнее задание + 0.05 * Домашнее задание + 0.35 * Коллоквиум + 0.1 * Контрольная работа №3 + 0.1 * Контрольная работа №4 + 0.35 * Экзамен №2

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Кремер, Н. Ш.  Математический анализ в 2 ч. Часть 1 : учебник и практикум для вузов / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин ; ответственный редактор Н. Ш. Кремер. — Москва : Издательство Юрайт, 2021. — 244 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-02017-5. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/470315 (дата обращения: 27.08.2024).

Рекомендуемая дополнительная литература

• Математика и информатика. : учебное пособие / К. В. Балдин, В. Н. Башлыков, А. В. Рукосуев [и др.] ; под ред. К. В. Балдина. — Москва : КноРус, 2020. — 361 с. — ISBN 978-5-406-00864-5. — URL: https://book.ru/book/934626 (дата обращения: 26.08.2024). — Текст : электронный.

Авторы

• Юдаева Оксана Юрьевна
• Храбров Александр Игоревич