Category 'Best Course for Career Development'

Category 'Best Course for Broadening Horizons and Diversity of Knowledge and Skills'

Category 'Best Course for New Knowledge and Skills'

Delivered at:: Department of Physics

Course type:: Compulsory course

When:: 1 year, 1-4 module

Instructor

Павлов Дмитрий Александрович

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Дисциплина базовой части профессионального цикла. Данная дисциплина служит основой для профессиональной ориентации студентов при выборе дисциплин из вариативной части Программы. Дисциплина направлена на формирование у студентов теоретических знаний и практических навыков по основам математического анализа.

Цель освоения дисциплины

Формирование у студентов теоретических знаний и практических навыков по основам математического анализа.

Планируемые результаты обучения

Студент поясняет понятия множества, отношения, основные аксиомы вещественных чисел, принцип математической индукции; дает определение понятий супремум и инфимум множества и умеет вычислять их для числовых множеств; дает определение понятию мощности множества, приводит примеры счётных и множеств мощности континуум.
Студент даёт окрестности в метрическом пространстве, окрестности на расширенной числовой прямой; поясняет понятие и свойства предела последовательности, умеет применять их для вычисления пределов при решении практических задач
Студент объясняет и умеет применять теорему о существовании предела монотонной последовательности; даёт определение числа е; объясняет значение и умеет доказывать лемму о вложенных отрезках;
Студент даёт два определения верхнего и нижнего пределов последовательности, умеет вычислять их при решении практических задач; раскрывает понятие фундаментальной последовательности, полного метрического пространства; записывает критерий Коши и его отрицание, исследует с его помощью последовательность
Студент даёт определения предела функций в метрическом пространстве по Коши и по Гейне, умеет доказывать их равносильность; Умеет записывать определение предела на языке "ε-δ", в том числе односторонние; излагает теорему о пределе сжатой функции, умеет применять её для вычисления предела lim┬(x→0)⁡〖sin⁡x/x〗;
Студент даёт различные определения непрерывных функций, доказывает их равносильность; проводит арифметические действия с непрерывными функциями, доказывает теоремы о сохранении знака и о непрерывности композиции;
Студент раскрывает понятие точки разрыва, умеет их классифицировать; использует таблицу эквивалентных основных функций; проводит асимптотическое сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций; раскрывает «неопределенности» при вычислении пределов с использованием таблицы эквивалентных основных функций.
Студент раскрывает понятие степенно-показательной функции, вычисляет пределы выражений, содержащих такие функции.
Студент объясняет понятия открытого и замкнутого множества в метрическом пространстве, внутренней, предельной, изолированной точки множества.
Студент объясняет понятие компакта в произвольном метрическом пространстве и теорему о необходимых и достаточных условиях компактности в R^n; раскрывает свойства непрерывной на компакте функции; даёт определение равномерной непрерывности функций, доказывает теорему Кантора.
Студент даёт определение производной и дифференцируемости функции в точке, умеет исследовать функцию на дифференцируемость.
Студент поясняет геометрический и физический смысл производной; использует таблицу производных основных функций; излагает основные правила дифференцирования, в том числе, правило дифференцируемости композиции и обратной функции, логарифмическую производную, умеет вычислять с производные и дифференциалы функций.
Студент доказывает теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши; даёт определение и вычисляет производные и дифференциалы высших порядков, применяет формулу Лейбница для нахождения производных высшего порядка.
Студент воспроизводит формулы Тейлора-Маклорена с различными формами остатка для e^x, sin⁡x, cos⁡x, ln⁡〖(1+x)〗, (1+x)^p; находит с их помощью разложения по формуле Тейлора для более сложных функциональных выражений.
Студент излагает необходимое и достаточные условия экстремума функций; даёт определение выпуклой функции; поясняет необходимое и достаточные условия точки перегиба.
Студент дает определение первообразной и неопределенного интеграла; использует таблицу неопределенных интегралов для элементарных функций; производит замену переменной в неопределенном интеграле, использует формулу интегрирования по частям при решении практических задач.
Студент формулирует понятия разбиения, суммы Римана, даёт определение интеграла Римана; формулирует критерий Лебега интегрируемости функции по Риману; объясняет понятие интеграла с переменным верхним пределом, доказывает теорему о его дифференцируемости.
Студент вычисляет определенный интеграл, применяя формулы Ньютона-Лейбница, интегрирования по частям, замены переменной; выводит формулы длины кривой, площади криволинейной трапеции и криволинейного сектора, объёма тела вращения; различает формулы прямоугольников и трапеций.
Студент даёт определение несобственных интегралов 1-го и 2-го рода, смешанного типа, в смысле главного значения; излагает свойства несобственных интегралов, критерий Коши, понятие абсолютной и условной сходимости, признаки сравнения, признаки Абеля и Дирихле.
Студент вычисляет несобственные интегралы, интегралы в смысле главного значения, исследует абсолютную и условную сходимость интегралов.
Студент даёт определение сходимости числового ряда; Формулирует и доказывает необходимое условие сходимости ряда; объясняет свойства сходящихся рядов, критерий Коши, понятие абсолютной и условной сходимости.
Студент формулирует интегральный признак, три признака сравнения, признаки Даламбера, Коши, Раабе, Гаусса; излагает признаки Дирихле, Абеля, Лейбница.
Студент оценивает остаток знакочередующегося ряда и исследует абсолютную и условную сходимость ряда.
Студент даёт определение поточечной и равномерной сходимости последовательности функций и функционального ряда, приводит примеры; формулирует необходимое условие равномерной сходимости ряда; называет функциональные свойства суммы равномерно сходящегося функционального ряда.
Студент формулирует критерий Коши, признаки равномерной сходимости Вейерштрасса, Дирихле и Абеля; приводит примеры исследования свойств функций, заданных функциональными рядами.
Студент даёт определение степенного ряда; доказывает первую теорему Абеля; даёт определение радиуса, круга (интервала) сходимости степенного ряда.
Студент называет формулу Коши-Адамара для радиуса; находит радиус сходимости степенного ряда и исследует сходимость в граничных точках интервала сходимости; доказывает функциональные свойства суммы степенного ряда.
Студент объясняет формулы разложения в ряд Тейлора-Маклорена для e^x, sin⁡x, cos⁡x, ln⁡〖(1+x)〗, (1+x)^p и находит разложения функций в ряд Тейлора.
Студент умножает, делит, дифференцирует, интегрирует степенные ряды. Доказывает и применяет вторую теорему Абеля для нахождения суммы числового ряда.

Содержание учебной дисциплины

Раздел 1. Введение. Предел последовательности.
Раздел 2. Предел и непрерывность функции одной переменной.
Раздел 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
Раздел 4. Интегральное исчисление функции одной переменной.
Раздел 5. Ряды.

Элементы контроля

Самостоятельная работа №1
Работа содержит задачи, связанные с определением и свойствами предела числовой последовательности
Контрольная работа №1
Первая контрольная работа содержит задачи на вычисление пределов функций, с использованием таблицы эквивалентных функций и известных асимптотик
Контрольная работа №2
Вторая контрольная содержит задачи на вычисление производных и дифференциалов функций одной переменной, разложение функций по формуле Тейлора в окрестности точки.
Коллоквиум №1
Экзамен по итогам 1 и 2 модулей
Контрольная работа №3
Третья контрольная работа содержит задачи на вычисление определенных интегралов различных типов
Контрольная работа №4
Работа содержит задачи на исследование сходимости несобственных интегралов и числовых рядов
Самостоятельная работа №1
Работа содержит задачи, связанные с понятием вещественного степенного ряда
Коллоквиум №2
Экзамен по итогам 3 и 4 модуля

Промежуточная аттестация

2025/2026 2nd module
Преподаватель учитывает работу на практических занятиях и оценку за текущий контроль (самостоятельная работа, контрольные работы). Отекущий = 0,1*C/р1 +0,2*К/р1+0,2*К/р2. Результирующая оценка за дисциплину рассчитывается следующим образом: Орезультирующая = 1*Отекущий + 0,2*Oколлоквиум1 + 0,3*Oэкзамен1.
2025/2026 4th module
Преподаватель учитывает работу на практических занятиях и оценку за текущий контроль (самостоятельная работа, контрольные работы). Отекущий = 0,1*C/р2 +0,2*К/р3+0,2*К/р4. Результирующая оценка за дисциплину рассчитывается следующим образом: Орезультирующая = 1*Отекущий + 0,2*Oколлоквиум2 + 0,3*Oэкзамен2.

Список литературы

Авторы

Горячко Евгений Евгеньевич
Храбров Александр Игоревич

Bachelor’s Programme 'Physics'

Contacts

Calculus 1

Instructor

Программа дисциплины