Differential Geometry and Topology

2022/2023

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

6

ECTS credits

Delivered at:

Department of Physics

Course type:

Compulsory course

When:

3 year, 3, 4 module

Instructor

Жукова Алена Михайловна

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина направлена на изучение вопросов, связанных с качественными свойствами и различиями объектов, рассматриваемых в геометрии, анализе, математической физике, теории дифференциальных уравнений и других математических и физических дисциплинах. Для освоения дисциплины требуются основы математического анализа многих переменных, алгебры и теории групп.

Цель освоения дисциплины

• Формирование у студентов знаний, связанных с качественными свойствами и различиями объектов, рассматриваемых в геометрии, анализе, математической физике, теории дифференциальных уравнений и других математических и физических дисциплинах.

Планируемые результаты обучения

• Владеет понятием о главном расслоении над гладким многообразием, дает определение функций перехода на главном расслоении, сечений главного расслоения, фундаментального векторного поля на главном расслоении.
• Дает определение гладкого многообразия, гладкого отображения между многообразиями. Знает понятия функции, векторного поля и дифференциальной формы на гладком многообразии, поведения этих объектах при гладких отображениях.
• Знает определение и дает примеры групп Ли, левоинвариантных векторных полей и левоинвариантных дифференциальной форм на группе Ли, владеет понятием о дифференциальных формах со значениями в алгебре Ли.
• Знает определение связности, формы связности и локальной формы связности на главном расслоении. Умеет осуществлять преобразование локальной формы связности при смене локальной тривиализации.
• Знает определение топологического пространства, непрерывного отображения между топологическими пространствами, базы топологии, декартова произведения топологических пространств.
• Знает понятие ассоциированных расслоений, сечений ассоциированных расслоений и ковариантная производная сечения, доказывать инвариантность ковариантной производной.
• Знает понятие псевдотензориальные формы, ковариантного дифференциала и формы кривизны, умеет формулировать и доказывать тождество Бьянки.
• Умеет описывать производное представление алгебры ЛИ

Содержание учебной дисциплины

• Тема 1. Топологические пространства
• Тема 2. Гладкое многообразие
• Тема 3. Группы Ли
• Тема 4. Главное расслоение
• Тема 5. Связность
• Тема 6. Псевдотензориальные формы
• Тема 7. Производное представление алгебры Ли
• Тема 8. Ассоциированные расслоения

Элементы контроля

• Аудиторная работа
  В ходе работы на практических занятиях студенты должны продемонстрировать полученные знания, умение пользоваться специальной терминологией, а также навыки работы с различными видами литературы и источников.
• Письменный экзамен
  Экзамен проводится в письменной форме. Экзаменационный билет содержит три вопроса из разных разделов курса. На подготовку ответа выделяется 2,5 часа.

Промежуточная аттестация

• 2022/2023 учебный год 4 модуль
  0.7 * Письменный экзамен + 0.3 * Аудиторная работа

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Сандракова, Е. В.  Дифференциальные формы на гладких многообразиях : учебное пособие для вузов / Е. В. Сандракова, Е. В. Сумин. — 2-е изд. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 138 с. — (Университеты России). — ISBN 978-5-534-10988-7. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/438019 (дата обращения: 28.08.2023).

Рекомендуемая дополнительная литература

• Loring W. Tu. (2010). An Introduction to Manifolds (Vol. 2nd ed. 2011). Springer.

Авторы

• Спицина Кристина Станиславовна
• Жукова Алена Михайловна
• Шендерович Игорь Евгеньевич