Delivered at:: Department of Informatics

Course type:: Compulsory course

When:: 1 year, 1-4 module

Instructors

Ievlev, Evgenii A.

Mokeev, Aleksandr

Khodunov, Pavel

Khrabrov, Alexander I.

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

В данном курсе студенты познакомятся с анализом функций одной и многих переменных, с классическим дифференциальным и интегральным исчислением. Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественнонаучных дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих базовую подготовку. Знания и навыки, приобретенные в рамках курса, необходимы для успешного освоения большинства дисциплин профессионального цикла. Изучение данной дисциплины базируется на знаниях и умениях, приобретённых в рамках школьной программы по математике.

Цель освоения дисциплины

Ознакомление студентов с теоретическими основами математического анализа (теория пределов и непрерывных функций, теория дифференциального исчислений функции одной переменной, неопределенное, определенное и несобственное интегрирование, дифференциальное исчисление функций многих переменных).

Планируемые результаты обучения

Знает понятия множества, отношения, основные аксиомы вещественных чисел, принцип математической индукции, супремум и инфимум. Знает понятие предела последовательности, умеет их вычислять. Умеет проводить сравнение скорости возрастания последовательностей. Знает и умеет применять теорему Больцано-Вейерштрасса. Знает понятие фундаментальные последовательности, критерий Коши, верхний и нижний пределы. Умеет исследовать сходимость рядов.
Знает различные определения предела функций в точке и их равносильности, умеет вычислять односторонние пределы. Знает различные определения непрерывных функций, их равносильность. Умеет проводить арифметические действия с непрерывными функциями, знает и умеет доказывать теоремы о стабилизации знака и о непрерывности композиции. Умеет вычислять предел lim sin x/x. Знает определение степенной функции и ее свойства.
Дает определение производной и дифференцируемости функции в точке. Знает геометрический и физический смысл производной, арифметические действия с дифференцируемыми функциями, дифференцируемость композиции и обратной функции. Умеет вычислять производные элементарных функций, использовать теоремы Ферма и Ролля, Лагранжа и Коши. Знает формулу Тейлора для многочленов, раскладывает sin x, cos x и ex в ряд.
Умеет доказывать иррациональность числа e. Знает необходимое и достаточные условия экстремума, дает определение выпуклых функций. Дает определение первообразной и неопределенного интеграла, примеры функций не имеющих первообразную. Умеет производить замену переменной в неопределенном интеграле и знает формула интегрирования по частям. Умеет вычислять определенный интеграл, проводит замену переменной в определенном интеграле. Умеет доказывать иррациональность числа π.
Дает определение равномерной непрерывности функций. Умеет проводить оценку разности интеграла и интегральной суммы. Знает интегрируемость по Риману, формулу трапеций, формулу Эйлера-Маклорена для второй производной. Знает свойства несобственных интегралов, понятие абсолютной сходимости, признаки Абеля и Дирихле. Умеет вычислять интеграл от произведения монотонной и периодической функций.
Дает определение метрического пространства, индуцированной метрики, скалярного произведения и нормы. Дает определения предела по Коши и по Гейне. Критерий Коши, непрерывных отображений. Знает доказательство теоремы Кантора для отображений метрических пространств. Определяет путь, носитель пути, простой путь, гладкий путь. Умеет вычислять длину кривой, заданной параметрически, длину графика функции и длину кривой, заданной в полярных координатах.
Знает критерий сходимости ряда с неотрицательными членами, признак сравнения, признаки Коши и Признак Даламбера. Дает определение абсолютной и условной сходимости, умеет проводить оценку суммы знакочередующегося ряда. Дает определение поточечной и равномерной сходимости последовательности функций. Использует критерии равномерной сходимости. Знает отличие поточечной и равномерной сходимость рядов. Формулирует необходимое условие равномерной сходимости ряда.
Дает определение степенных рядов, радиуса и круга сходимости. Знает матрицу Якоби, градиент, производную по направлению. Умеет вычислять частные производные. Умеет определять локальные экстремумы, стационарные точки. Знает достаточные условия экстремума. Использует метод множителей Лагранжа для поиска экстремума. Умеет вычислять расстояние от точки до гиперплоскости.
Знает понятие алгебры и σ-алгебры множеств, кольца и полукольца. Дает определение объема, меры, конечной и счетной аддитивности. Дает определение меры Лебега. Знает основные свойства меры Лебега, измеримые функции. Умеет доказывать измеримость inf fn, sup fn , lim fn , lim fn , lim fn , φ◦f.
Умеет доказывать теорему Лебега о сходимостях. Знает определение интеграла Лебега. Умеет доказывать неравенства Гельдера и Минковского, лемму Фату. Знает связь интегралов Римана и Лебега, критерий Лебега интегрируемости по Риману.
Умеет вычислять интегралы от непрерывных функций. Доказывает равномерную сходимость несобственных интегралов с параметром. Умеет использовать перестановку предела и интеграла. Умеет дифференцировать несобственный интеграл по параметру. Знает Γ- и Β-функции Эйлера, связь между ними. Умеет вычислять объем многомерного шара, интеграл по длине дуги.

Содержание учебной дисциплины

Раздел 1. Последовательности вещественных чисел. Пределы и непрерывность функций.
Раздел 2. Дифференциальное и интегральное исчисление
Раздел 3. Приложение интегрального исчисления и несобственные интегралы. Метрические и нормированные пространства
Раздел 4. Числовые и функциональные ряды. Функции нескольких переменных
Раздел 5. Теория меры и интеграл Лебега
Раздел 6. Интегралы с параметром и криволинейные интегралы

Элементы контроля

Домашнее задание №1
Домашнее задание №1 выдается студентам в одном варианте и состоит из 7 задач. Каждой задаче присвоен свой балл. Срок выполнения домашнего задания - 2 недели. Форма представления обучающимися домашнего задания - представленные в письменном виде решения задач.
Домашнее задание №2
Домашнее задание №2 выдается студентам в одном варианте и состоит из 6 задач. Каждой задаче присвоен свой балл. Срок выполнения домашнего задания - 2 недели. Форма представления обучающимися домашнего задания - представленные в письменном виде решения задач.
Домашнее задание №4
Домашнее задание №4 выдается студентам в одном варианте и состоит из 7 задач. Каждой задаче присвоен свой балл. Срок выполнения домашнего задания - 2 недели. Форма представления обучающимися домашнего задания - представленные в письменном виде решения задач.
Домашнее задание №5
Домашнее задание №5 выдается студентам в одном варианте и состоит из 9 задач. Каждой задаче присвоен свой балл. Срок выполнения домашнего задания - 2 недели. Форма представления обучающимися домашнего задания - представленные в письменном виде решения задач.
Домашнее задание №6
Домашнее задание №6 выдается студентам в одном варианте и состоит из 11 задач. Каждой задаче присвоен свой балл. Срок выполнения домашнего задания - 2 недели. Форма представления обучающимися домашнего задания - представленные в письменном виде решения задач.
Домашнее задание №9
Домашнее задание №9 выдается студентам в одном варианте и состоит из 9 задач. Каждой задаче присвоен свой балл. Срок выполнения домашнего задания - 2 недели. Форма представления обучающимися домашнего задания - представленные в письменном виде решения задач.
Домашнее задание №7
Домашнее задание №7 выдается студентам в одном варианте и состоит из 8 задач. Каждой задаче присвоен свой балл. Срок выполнения домашнего задания - 2 недели. Форма представления обучающимися домашнего задания - представленные в письменном виде решения задач.
Экзамен №5
Письменный экзамен №5 проводится в форме ответов на вопросы экзаменационного билета. Экзаменационный билет содержит два вопроса из перечня вопросов к экзамену. На подготовку ответа выделяется 2,5 часа.
Экзамен №2
Письменный экзамен №2 проводится в форме ответов на вопросы экзаменационного билета. Экзаменационный билет формируется по одному вопросу из первой и второй части перечня вопросов к экзамену. На подготовку ответа выделяется 2,5 часа.
Экзамен №4
Письменный экзамен №4 проводится в форме ответов на вопросы экзаменационного билета. Экзаменационный билет формируется по одному вопросу из первой и второй части перечня вопросов к экзамену. На подготовку ответа выделяется 2,5 часа.
Домашнее задание №10
Домашнее задание №10 выдается студентам в одном варианте и состоит из 9 задач. Каждой задаче присвоен свой балл. Срок выполнения домашнего задания - 2 недели. Форма представления обучающимися домашнего задания - представленные в письменном виде решения задач.
Домашнее задание №3
Домашнее задание №3 выдается студентам в одном варианте и состоит из 5 задач. Каждой задаче присвоен свой балл. Срок выполнения домашнего задания - 2 недели. Форма представления обучающимися домашнего задания - представленные в письменном виде решения задач.
Экзамен №3
Письменный экзамен №3 проводится в форме ответов на вопросы экзаменационного билета. Экзаменационный билет формируется по одному вопросу из первой и второй части перечня вопросов к экзамену. На подготовку ответа выделяется 2,5 часа.
Домашнее задание №8
Домашнее задание №8 выдается студентам в одном варианте и состоит из 7 задач. Каждой задаче присвоен свой балл. Срок выполнения домашнего задания - 2 недели. Форма представления обучающимися домашнего задания - представленные в письменном виде решения задач.
Экзамен №1
Письменный экзамен №1 проводится в форме ответов на вопросы экзаменационного билета. Экзаменационный билет формируется по одному вопросу из первой и второй части перечня вопросов к экзамену. На подготовку ответа выделяется 2,5 часа.

Промежуточная аттестация

2021/2022 учебный год 1 модуль
Преподаватель учитывает работу на практических занятиях и оценку за текущий контроль (домашние задания). Онакопленная = 0,5*Од/з1 + 0,5*Од/з2 Результирующая оценка за дисциплину рассчитывается следующим образом: ОРезультирующая= 0,3 Онакопленная+0,7 Оэкзамен1
2021/2022 учебный год 2 модуль
Преподаватель учитывает работу на практических занятиях и оценку за текущий контроль (домашние задания). Онакопленная = 0,5*Од/з3 + 0,5*Од/з4 Результирующая оценка за дисциплину рассчитывается следующим образом: ОРезультирующая= 0,3 Онакопленная+0,7 Оэкзамен2
2021/2022 учебный год 3 модуль
Преподаватель учитывает работу на практических занятиях и оценку за текущий контроль (домашние задания). Онакопленная = 0,5*Од/з5 + 0,5*Од/з6 Результирующая оценка за дисциплину рассчитывается следующим образом: ОРезультирующая= 0,3 Онакопленная+0,7 Оэкзамен3
2021/2022 учебный год 4 модуль
Преподаватель учитывает работу на практических занятиях и оценку за текущий контроль (домашние задания). Онакопленная = 0,5*Од/з7 + 0,5*Од/з8 Результирующая оценка за дисциплину рассчитывается следующим образом: ОРезультирующая= 0,3 Онакопленная+0,7 Оэкзамен4
2022/2023 учебный год 1 модуль
Преподаватель учитывает работу на практических занятиях и оценку за текущий контроль (домашние задания). Онакопленная = 0,5*Од/з9 + 0,5*Од/з10 Результирующая оценка за дисциплину рассчитывается следующим образом: ОРезультирующая= 0,3 Онакопленная+0,7 Оэкзамен5

Bachelor’s Programme 'Physics'

Contacts

Calculus

Instructors

Программа дисциплины

Аннотация

Цель освоения дисциплины

Планируемые результаты обучения

Содержание учебной дисциплины

Элементы контроля

Промежуточная аттестация

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

Рекомендуемая дополнительная литература