Foundations of Mathematical Research

2016/2017

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

3

ECTS credits

Author

Matveenko, S.

Delivered at:

Department of Mathematics

Course type:

Elective course

When:

1 year, 3 module

Программа дисциплины

Аннотация

Целями освоения дисциплины «Основы математических исследований» являются изучение метода вариации, решение вариационных задач и задач оптимального управления. Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих областей знания, для построения и исследования математических моделей таких задач. В рамках дисциплины изучаются такие разделы, как "Дифференциал Фреше. Функции нескольких переменных", "Интегрирование. Основная лемма вариационного исчисления", "Производная по Гато. Уравнение Эйлера", "Обыкновенные дифференциальные уравнения", "Задачи вариационного исчисления", "Изопериметрические задачи" и "Задачи оптимального управления".

Цель освоения дисциплины

• изучение метода вариации, решение вариационных задач и задач оптимального управления

Планируемые результаты обучения

• Умеет вычислять первый и второй дифференциал, дифференциал Фреше, находить локальные экстремумы ФНП
• Умеет вычислять неопределенные, определенные и несобственные интегралы, умеет использовать формулы замены переменной и интегрирования по частям
• Демонстрирует знание понятий функционалов, производной по Гато и необходимое условие экстремума
• Умеет решать обыкновенные дифференциальные уравнения разрешённые относительно старшей производной
• Умеет ставить задачу вариационного исчисления и знает необходимое условие экстремального решения
• Умеет применять метод множителей Лагранжа для функций нескольких переменных
• Демонстрирует знание изопериметрической задачи и задачи Дидоны
• Умеет ставить задачи оптимального управления

Содержание учебной дисциплины

• Дифференциал Фреше. Функции нескольких переменных
  Функции нескольких переменных. Первый и второй дифференциалы, Дифференциал Фреше. Локальные экстремумы функций нескольких переменных: необходимое и достаточное условие.
• Интегрирование. Основная лемма вариационного исчисления
  Вычисление неопределённых интегралов. Вычисление определённых интегралов. Вычисление Несобственных интегралов. Формула замены переменной. Формула интегрирования по частям. Лемма Дюбуа–Реймона, основная лемма вариационного исчисления
• Производная по Гато. Уравнение Эйлера
  Функционалы. Производная по Гато. Необходимое условие экстремума. Уравнение Эйлера.
• Обыкновенные дифференциальные уравнения
  Обыкновенные дифференциальные уравнения разрешённые относительно старшей производной: уравнения с разделяющимися переменными, уравнения, сводящиеся заменой переменной к уравнениям с разделяющимися переменными, линейные дифференциальные уравнения.
• Задачи оптимального управления
  Постановка задач оптимального управления. Необходимое условие.
• Задачи вариационного исчисления
  Постановка задачи вариационного исчисления. Необходимое условие экстремального решения. Задача о брахистохроне. Задача о минимальной площади поверхности фигуры вращения.
• Изопериметрические задачи
  Метод множителей Лагранжа для функций нескольких переменных. Изопериметрическая задача. Задача Дидоны. Условия трансверсальности

Элементы контроля

• Домашнее задание
  Домашнее задание выполняется студентами во внеаудиторная время в формате домашней работы. Выдается студентам в одном варианте и состоит из 5 задач. Каждой задаче присвоен свой балл. Срок выполнения домашнего задания – 1 неделя. Форма представления обучающимися домашнего задания – представленные в письменном виде решения задач.
• Контрольная работа
  Контрольная работа проводится в формате аудиторной письменной работы. Время на выполнение контрольной работы – 80 минут. Выдается студентам в двух вариантах и состоит из 4 задач. Каждой задаче присвоен свой балл.
• Аудиторная работа
  Преподаватель оценивает работу студентов на семинарских занятиях: оценивается активность студентов, успешное решение задач на семинаре. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за работу на семинарских занятиях определяется перед итоговым контролем.
• Экзамен

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (3 модуль)
  0.24 * Аудиторная работа + 0.18 * Домашнее задание + 0.18 * Контрольная работа + 0.4 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Краткий курс математического анализа. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды: Учебник / Кудрявцев Л.Д., - 4-е изд. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2015. - 444 с.: ISBN 978-5-9221-1585-8
• Математика в примерах и задачах: Учеб. пособие / Л.Н. Журбенко, Г.А. Никонова, Н.В. Никонова, О.М. Дегтярева. - М.: ИНФРА-М, 2010. - 372 с.: 60x88 1/16. - (Высшее образование). (обложка) ISBN 978-5-16-003841-4 - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/209484

Рекомендуемая дополнительная литература

• Geering, H. P. (2007). Optimal Control with Engineering Applications. Berlin: Springer. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=197139