• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Линейная алгебра

2021/2022
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
6
Кредиты
Статус:
Курс обязательный
Когда читается:
1-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватель

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина ориентирована на студентов первого курса образовательной программы “Международный бизнес и менеджмент/Менеджмент” и "Логистика и УЦП". Целью курса является изучение базовых понятий, освоение основных методов линейной алгебры и возможностей их применения для построения математических моделей в экономике, менеджменте и логистике. В рамках курса изучаются, в частности, теория матриц и определителей, структура решений систем линейных алгебраических уравнений, линейные пространства, основные понятия аналитической геометрии на плоскости и в пространстве . В результате освоения дисциплины студент должен знать основные понятия линейной алгебры, методы решения систем линейных алгебраических уравнений, элементы векторного анализа и аналитической геометрии; уметь применить аппарат линейной алгебры для решения прикладных задач; иметь навыки применения методов алгебры матриц, решения систем линейных уравнений, решения задач на прямую и плоскость; иметь навыки в решении систем линейных уравнений и построении диагональных квадратичных форм, в применении методов линейной алгебры в других учебных дисциплинах и научной работе.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целями освоения дисциплины «Линейная алгебра» являются изучение разделов матричной алгебры, решение систем линейных уравнений и векторного анализа, позволяющие студенту успешно изучать такие дисциплины, как "Математический анализ", «Теория вероятностей и математическая статистика», "Математические методы и модели в логистике", «Теория игр и принятие решений». Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих областей знания, для построения и исследования математических моделей. Дисциплина является инструментальным и модельным прикладным аппаратом для изучения студентами математической компоненты своего профессионального образования.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Анализирует знакоопределенность квадратичной формы с помощью критерия Сильвестра
  • Знает канонические уравнения и свойства кривых второго порядка; определяет тип кривой второго порядка
  • Применяет элементарные преобразования систем линейных уравнений, знает простейшие свойства многочленов, линейные операции с ними.
  • Выполняет линейные операции с векторами в линейном пространстве, анализирует линейную независимость векторов, выбирает базис конечномерного линейного пространства, раскладывает вектор по базису.
  • Выполняет операции с матрицами, проводит элементарные преобразования матриц, приводит матрицу к ступенчатому виду, находит ранг. Находит определитель квадратной матрицы, использует свойства определителей, находит обратную матрицу.
  • Решает СЛАУ методом Гаусса, находит фундаментальную систему решений однородной СЛАУ, записывает общее решение однородной и неоднородной СЛАУ, применяет теорему Крамера.
  • Выполняет операции с векторами в ДПСК, использует свойства операций, находит скалярное, векторное, смешанное произведения векторов, знает свойства этих произведений, применяет для решения геометрических задач.
  • Записывает и использует уравнения прямых и плоскостей, исследует их взаимное расположение, строит множество решений систем линейных неравенств на плоскости, решает задачи геометрии, используя уравнения прямых и плоскостей.
  • Раскладывает многочлены на множители, строит интерполяционный многочлен Лагранжа, выделяет целую часть неправильной рациональной дроби, раскладывает правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей разными методами, производит простейшие арифметические действия с комплексными числами, переводит комплексное число к тригонометрической записи, извлекает корни из комплексных чисел и применяет формулу Муавра.
  • Находит ядро и образ линейного оператора, собственные векторы и собственные значения линейного преобразования, записывает матрицу линейного оператора относительно фиксированного базиса
  • Определяет ортогональность векторов; строит ортогональную проекцию вектора на подпространство; проводит процесс ортогонализации для линейно независимой системы векторов; строит ортонормированный базис; применяет критерий Грама
  • Приводит квадратичную форму к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Введение
    Мотивационные примеры (применение методов ЛА и геометрии в профессиональной деятельности). Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Представление о методе Гаусса. Простейшие свойства многочленов, линейные операции с ними.
  • Линейные пространства
    Свободные геометрические векторы. Линейные операции над векторами. Понятие линейного пространства и подпространства, примеры. Линейная зависимость и независимость систем векторов. Свойства. Базис и ранг системы векторов. Свойства базиса.
  • Матрицы и определители
    Матрицы и линейные операции над ними. Умножение матриц, свойства. Определители квадратных матриц: свойства, методы вычисления. Обратная матрица: критерий существования и методы построения. Ранг матрицы. Определения и методы вычисления. Элементарные преобразования матриц. Приведение матрицы к трапециевидной форме (ступенчатому виду).
  • Системы линейных алгебраических уравнений.
    Различные формы записи СЛАУ. Условия совместности и определенности. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Структура общего решения однородной системы линейных уравнений. Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений. Квадратные системы линейных уравнений. Теорема Крамера. Представление о методе наименьших квадратов. Представление о модели Леонтьева многоотраслевой экономики.
  • Аффинные системы координат
    Связь между векторным и точечным (аффинным) пространством. Аффинные системы координат. Связь между координатами точки в различных аффинных системах координат. Декартова прямоугольная система координат. Скалярное произведение геометрических векторов, его свойства и применение. Представление о векторном и смешанном произведении векторов. Свойства и применение. Задание линий и поверхностей с помощью уравнений. Примеры.
  • Прямые и плоскости
    Прямые на плоскости. Различные формы уравнений. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Геометрический смысл неравенств первой степени. Системы линейных неравенств. Плоскости в пространстве. Различные формы уравнений. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Прямые в пространстве. Параметрические и канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямых в пространстве. Отрезок в пространстве. Гиперплоскость в Rn. Взаимное расположение гиперплоскостей. Прямая в Rn. Взаимное расположение прямых. Отрезок в Rn. Выпуклые множества. Понятие выпуклого многогранника. Представление о задаче линейного программирования, методах решения, анализе на чувствительность.
  • Многочлены и рациональные дроби.
    Бином Ньютона. Свойства многочленов (относительно действительной переменной). Разложение многочленов на множители. Задача интерполирования. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Рациональные дроби и их свойства. Выделение целой части неправильной рациональной дроби. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие. Метод неопределенных коэффициентов и метод вычеркивания. Определение комплексных чисел и их свойства. Геометрическое представление комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи. Теорема о произведении и частном. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа. Свойства многочленов (относительно комплексной переменной).
  • Линейные операторы
    Линейный оператор и линейное преобразование. Примеры линейных операторов. Ядро и образ линейного оператора, их свойства. Матрица линейного преобразования. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования. Характеристический многочлен. Свойства собственных векторов. Представление о линейной модели международной торговли. Преобразование матрицы линейного преобразования при замене базиса. Матрица композиции линейных операторов. Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду.
  • Квадратичные формы
    Квадратичные формы. Симметричная матрица, порождающая квадратичную форму. Представление о знакоопределенных квадратичных формах. Критерий Сильвестра. Применение квадратичных форм для анализа функций.
  • Кривые второго порядка
    Геометрическая интерпретация множества решений алгебраического уравнения второго порядка относительно двух неизвестных. Эллипс. Окружность. Гипербола. Парабола. Определение типа линии по заданному алгебраическому уравнению второго порядка. Представление о поверхностях второго порядка.
  • Евклидовы пространства
    Примеры и свойства евклидовых пространств. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника. Независимость попарно ортогональных векторов. Ортогональная проекция вектора на пространство. Ортогонализация базиса. Геометрическая интерпретация ортогональных матриц.
  • Самосопряженные операторы
    Сопряженность операторов в евклидовом пространстве. Собственные векторы самосопряженных операторов. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Контрольная работа 1
    Контрольная работа проводится в аудитории, в письменной форме, продолжительность определяется преподавателем. В случае дистанционного формата обучения контрольная работа проводится дистанционно. Студент должен продемонстрировать умение работы с матрицами и определителями, умение находить базис системы векторов, раскладывать вектор по базису, уметь находить решение системы линейных уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера, находить обратную матрицу, решать простейшие матричные уравнения, умение проводить анализ знакоопределенности квадратичной формы. Требования к проведению контрольной в дистанционном формате. КР проводится в письменной форме. На КР выделяется 80 минут и 10 минут на загрузку заданий. Работа проводится на платформе Smart LMS и Zoom или MS Teams. К занятию, на котором будет проводиться контрольная работа, необходимо подключиться за 15 минут до начала, по сигналу преподавателя приступить к решению заданий в Smart LMS. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, скоростной интернет, поддержка Zoom/MS Teams. Наушниками пользоваться нельзя. Ответы на задания записываются на белых листах А4, черной ручкой, листы нумеруются, при указании в задании ответы дополнительно вводятся в окно ответа. После окончания работы студент должен сфотографировать/отсканировать свое решение и загрузить в Smart LMS. Фотографии должны быть вертикальными, чтобы текст не был размыт и читался однозначно. Ответы и номера заданий нужно выделить. На протяжении работы камера и микрофон должны быть включены. Требуется расположить камеру сбоку или фронтально от себя таким образом, чтобы она была направлена на рабочее поле – лист, на котором выполняется работа, на студента и пространство вокруг студента (помещение должно быть хорошо освещено). Камера должна быть одна! (Разрешается использовать вход в Zoom / MS Teams с мобильного телефона с его камерой, если нет вебкамеры у компьютера). По требованию преподавателя студент обязан переключиться на трансляцию своего экрана: включить заднюю камеру мобильного телефона или повернуть в течение 5 секунд телефон к экрану компьютера, или запустить демонстрацию экрана. Выходить во время контрольной работы из комнаты нельзя. На столе можно иметь только письменные принадлежности, без пенала, чистые листы бумаги и воду. Наличие каких-либо носителей информации поблизости от рабочего места студента, а также других людей, считается нарушением и заканчивается удалением студента с работы и выставлением оценки «0». Во время контрольной работы студентам запрещено выключать камеру и микрофон: до окончания работы видео и звук должны оставаться активными, включая время на сканирование выполненной работы и отправку ее на проверку. Кратковременным нарушением связи во время контрольной работы считается нарушение связи менее 5 минут и не более одного раза. Долговременным нарушением связи во время контрольной работы считается нарушение от 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент может продолжить участие в написании работы по усмотрению преподавателя.
  • неблокирующий Контрольная работа 2
    Контрольная работа проводится аудиторно, в письменной форме, 80 минут. В случае дистанционного формата обучения контрольная работа проводится дистанционно. Студент должен продемонстрировать умение решать задачи на прямые на плоскости, прямые и плоскости в пространстве, применять в решении задач скалярное и векторное произведения векторов, раскладывать рациональные дроби на сумму простейших дробей, решать простейшие задачи с комплексными числами, находить собственные векторы и собственные числа линейного оператора, решать задачи с линейными операторами. Анализирует знакоопределенность квадратичной формы с помощью критерия Сильвестра. Приводит уравнения кривых второго порядка к каноническому виду, определяет тип кривой второго порядка Требования к проведению контрольной в дистанционном формате. КР проводится в письменной форме. На КР выделяется 80 минут и 10 минут на загрузку заданий. Работа проводится на платформе Smart LMS и Zoom или MS Teams. К занятию, на котором будет проводиться контрольная работа, необходимо подключиться за 15 минут до начала, по сигналу преподавателя приступить к решению заданий в Smart LMS. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, скоростной интернет, поддержка Zoom/MS Teams. Наушниками пользоваться нельзя. Ответы на задания записываются на белых листах А4, черной ручкой, листы нумеруются, при указании в задании ответы дополнительно вводятся в окно ответа. После окончания работы студент должен сфотографировать/отсканировать свое решение и загрузить в Smart LMS. Фотографии должны быть вертикальными, чтобы текст не был размыт и читался однозначно. Ответы и номера заданий нужно выделить. На протяжении работы камера и микрофон должны быть включены. Требуется расположить камеру сбоку или фронтально от себя таким образом, чтобы она была направлена на рабочее поле – лист, на котором выполняется работа, на студента и пространство вокруг студента (помещение должно быть хорошо освещено). Камера должна быть одна! (Разрешается использовать вход в Zoom / MS Teams с мобильного телефона с его камерой, если нет вебкамеры у компьютера). По требованию преподавателя студент обязан переключиться на трансляцию своего экрана: включить заднюю камеру мобильного телефона или повернуть в течение 5 секунд телефон к экрану компьютера, или запустить демонстрацию экрана. Выходить во время контрольной работы из комнаты нельзя. На столе можно иметь только письменные принадлежности, без пенала, чистые листы бумаги и воду. Наличие каких-либо носителей информации поблизости от рабочего места студента, а также других людей, считается нарушением и заканчивается удалением студента с работы и выставлением оценки «0». Во время контрольной работы студентам запрещено выключать камеру и микрофон: до окончания работы видео и звук должны оставаться активными, включая время на сканирование выполненной работы и отправку ее на проверку. Кратковременным нарушением связи во время контрольной работы считается нарушение связи менее 5 минут и не более одного раза. Долговременным нарушением связи во время контрольной работы считается нарушение от 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент может продолжить участие в написании работы по усмотрению преподавателя.
  • неблокирующий Самостоятельная работа
    Преподаватель, ведущий семинары, оценивает самостоятельную работу студентов: оценивается выполнение домашних заданий и подготовка к семинарам. Контроль может проводиться в форме устных и письменных опросов по материалу домашних заданий. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за самостоятельную работу определяется перед итоговым контролем – Осам. работа
  • неблокирующий Экзамен
    Экзамен проводится аудиторно, в письменной форме, 80 минут. В случае дистанционного формата обучения экзамен проводится дистанционно. На экзамене студент должен показать знание теоретической части курса: знание формулировок теорем, свойств, определений, основные доказательства, уметь применять свойства и теоремы практически, уметь решать задачи. Требования к проведению экзамена в дистанционном формате. Экзамен проводится в письменной форме. На него выделяется 90 минут и 10 минут на загрузку заданий. Работа проводится на платформе Smart LMS и Zoom или MS Teams. К онлайн ресурсам необходимо подключиться за 15 минут до начала, по сигналу преподавателя приступить к решению заданий в Smart LMS. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, скоростной интернет, поддержка Zoom/MS Teams. Наушниками пользоваться нельзя. Ответы на задания записываются на белых листах А4, черной ручкой, листы нумеруются, при указании в задании ответы дополнительно вводятся в окно ответа. После окончания работы студент должен сфотографировать/отсканировать свое решение и загрузить в Smart LMS в формате PDF. Фотографии должны быть вертикальными, чтобы текст не был размыт и читался однозначно. Ответы и номера заданий нужно выделить. На протяжении работы камера и микрофон должны быть включены. Требуется расположить камеру сбоку или фронтально от себя таким образом, чтобы она была направлена на рабочее поле – лист, на котором выполняется работа, на студента и пространство вокруг студента (помещение должно быть хорошо освещено). Камера должна быть одна! (Разрешается использовать вход в Zoom / MS Teams с мобильного телефона с его камерой, если нет вебкамеры у компьютера). По требованию преподавателя студент обязан переключиться на трансляцию своего экрана: включить заднюю камеру мобильного телефона или повернуть в течение 5 секунд телефон к экрану компьютера, или запустить демонстрацию экрана. Выходить во время экзамена из комнаты нельзя. На столе можно иметь только письменные принадлежности, без пенала, чистые листы бумаги и воду. Наличие каких-либо носителей информации поблизости от рабочего места студента, а также других людей, считается нарушением и заканчивается удалением студента с работы и выставлением оценки «0». Во время экзамена студентам запрещено выключать камеру и микрофон: до окончания работы видео и звук должны оставаться активными, включая время на сканирование выполненной работы и отправку ее на проверку. Кратковременным нарушением связи во время контрольной работы считается нарушение связи менее 5 минут и не более одного раза. Долговременным нарушением связи во время контрольной работы считается нарушение от 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент может продолжить участие в написании работы по усмотрению преподавателя.
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.2 * Контрольная работа 1 + 0.2 * Контрольная работа 2 + 0.2 * Самостоятельная работа + 0.4 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Бурмистрова Е. Б., Лобанов С. Г. - ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебник и практикум для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 421с. - ISBN: 978-5-9916-3588-2 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/lineynaya-algebra-425852

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Практикум: Учебное пособие / А.С. Бортаковский, А.В. Пантелеев. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2015. - 352 с.: 60x90 1/16. - (Высшее образование: Бакалавриат). (переплет) ISBN 978-5-16-010206-1 - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/476097
  • Основы линейной алгебры и аналитической геометрии: Учебно-методическое пособие / В.Г. Шершнев. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 168 с.: 60x88 1/16. - (Высшее образование: Бакалавриат). (обложка) ISBN 978-5-16-005479-7 - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/318084
  • Сабитов И. Х., Михалев А. А. - ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 2-е изд., испр. и доп. Учебное пособие для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 258с. - ISBN: 978-5-534-08941-7 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/lineynaya-algebra-i-analiticheskaya-geometriya-441250